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2019版数学精品资料(北师大版)www.ks5u.com温馨提示: 此套题为Word版,请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴,调节合适的观看比例,答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 十椭圆方程及性质的应用一、选择题(每小题5分,共25分)1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不确定【解析】选A.直线y=kx-k+1=k(x-1)+1过定点(1,1),且该点在椭圆内部,因此必与椭圆相交.2.(2016西安高二检测)椭圆+=1的右焦点到直线y=x的距离是()A.B.C.1D.【解析】选B.椭圆右焦点坐标为(1,0),到直线x-y=0的距离为d=.3.直线y=1被椭圆+=1截得的线段长为()A.4B.3C.2D.【解析】选C.联立直线与椭圆的方程得x2=2,故x=.故直线与椭圆的交点坐标为(-,1),(,1),故截得的弦长为-(-)=2.4.(2016宝鸡高二检测)已知直线l经过点P(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A.1B.1或2C.2D.0【解析】选C.因为直线l过点(3,-1)且+1,所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线l与椭圆有2个公共点.【补偿训练】点A(a,1)在椭圆+=1的内部,则a的取值范围是()A.-aB.aC.-2a2D.-1a1【解析】选A.因为点A(a,1)在椭圆+=1的内部,所以+1,所以,则a22,所以-ab0)与直线方程联立消去x得(a2+3b2)y2+8b2y+16b2-a2b2=0,由=0及c=2得a2=7,所以2a=2.答案:28.(2016西安高二检测)已知F1,F2为椭圆+=1(ab0)的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,若AF1B的周长为16,椭圆离心率e=,则椭圆的方程是_.【解题指南】根据椭圆的定义及离心率公式求基本量的值即可.【解析】依题意,得4a=16,所以a=4.又=,所以c=2,b2=a2-c2=4.所以椭圆的标准方程为+=1.答案:+=1三、解答题(每小题10分,共20分)9.若直线y=kx+1(kR)与椭圆+=1恒有公共点,求实数m的取值范围.【解析】方法一:直线恒过一定点(0,1),当m5时,椭圆焦点在x轴上,短半轴长b=,要使直线与椭圆恒有交点,则1即1m5时,椭圆焦点在y轴上,长半轴长a=可保证直线与椭圆恒有交点即m5,综述:m1且m5.方法二:直线恒过一定点(0,1),要使直线与椭圆恒有交点,即要保证定点(0,1)在椭圆内部+1,即m1,所以m1且m5.【补偿训练】若直线l:y=kx+1与椭圆+=1交于A,B两点,且|AB|=,求直线l的方程.【解析】联立消去y得(1+2k2)x2+4kx-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,那么|AB|=,整理得4k4-5k2+1=0,解得k=1,k=,故直线l的方程为y=x+1或y=x+1.10.(2016榆林高二检测)如图,椭圆E:+=1(ab0)经过点A(0,-1),且离心率为.(1)求椭圆E的方程.(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.【解题指南】(1)利用a2=b2+c2与e=求解.(2)设直线方程,代入椭圆方程,利用根与系数的关系化简计算即可.【解析】(1)由题意知=,b=1,综合a2=b2+c2,解得a=,所以,椭圆的方程为+y2=1.(2)由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1,代入+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0,由已知0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,则x1+x2=,x1x2=,从而直线AP与AQ的斜率之和kAP+kAQ=+=+=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016西安高二检测)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为()A.+y2=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选C.由题意知椭圆焦点在x轴上,且c=1,可设C的方程为+=1(a1),由过F2且垂直于x轴的直线被C截得的弦长|AB|=3,知点必在椭圆上,代入椭圆方程化简得4a4-17a2+4=0,所以a2=4或a2=(舍去).故椭圆C的方程为+=1.【补偿训练】已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作倾斜角为30的直线与椭圆有一个交点P,且PF2x轴,则此椭圆的离心率e为()A.B.C.D.【解析】选A.在RtPF2F1中,PF1F2=30,|F1F2|=2c,|PF1|=2|PF2|,根据椭圆的定义得|PF2|=a,|PF1|=a,又|PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2,即a2-a2=4c2,所以e=.2.若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点P(a,b)的直线与椭圆+=1的公共点个数为()A.0B.1C.2D.需根据a,b的取值来确定【解题指南】根据直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,可推断点(a,b)是以原点为圆心,2为半径的圆内的点,根据圆的方程和椭圆方程可知圆x2+y2=4内切于椭圆,进而可知点P是椭圆内的点,进而判断可得答案.【解析】选C.因为直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,所以原点到直线ax+by+4=0的距离d=2,所以a2+b2b0)有两个不同的交点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为.【解析】由题意易知两交点的横坐标为-c,c,纵坐标分别为-,所以由=2b2=ac=2(a2-c2),即2e2+e-2=0,解得e=(负根舍去).答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2,OC的斜率为,求椭圆的方程.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得a+b=1,a+b=1.-,得a(x2+x1)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.而=kAB=-1,=kOC=,则b=a.又因为|AB|=|x2-x1|=|x2-x1|=2,所以|x2-x1|=2.又由得(a+b)x2-2bx+b-1=0,所以x1+x2=,x1x2=.所以|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2=-4=4,将b=a代入,得a=,b=,所以所求的椭圆方程为+y2=1.【一题多解】由直线方程和椭圆方程联立,得得(a+b)x2-2bx+b-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=.因为|AB|=2,所以=1.设C(x,y),则x=,y=1-x=.因为OC的斜率为,所以=.代入,得a=,b=.所以椭圆方程为+y2=1.6.(2015浙江高考)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围.(2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).【解析】(1)由题意知m0,可设直线AB的方程为y=-x+b,由消去y整理得,x2-x+b2-1=0,因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,所以=-2b2+2+0,设A,B,则x1+x2=,x1x2=,y1+y2=-(x1+x2)+2b=,所以线段AB的中点M,将点M的坐标代入直线方程y=mx+,解得b=-,由解得m.(2)令t=,则=,且O到直线AB的距离为d=,设AOB的面积为S(t),所以S(t)=d=,当且仅当t2=时,等号成立,故AOB面积的最大值为.关闭Word文档返回原板块
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