函数与导数中的特称命题与全称命题1已知函数其中。（1）当时，判断的单调性；（2）若在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；（3）设函数若总有成立，求实数m的取值范围。答案：解析：由，当 时，在（）上单调递增。（2）由已知得，其定义域为（），因为在其定义域内为增函数，所以即而，当且仅当x=1时，等号成立，所以（3）当a=2时，由得，或，当时， 所以在（0，1）上，而“成立”等价于“（0，1）上的最大值不小于上的最大值”。又 所以有： 所以实数的取值范围是 2已知函数.()当时，讨论的单调性；（）设当时，若对任意，存在，使，求实数取值范围.（）当时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，即存在，使，即，即，所以，解得，即实数取值范围是。3.设函数() 当时，求函数的极值；（）当时，讨论函数的单调性.（）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围. 解：()函数的定义域为. 当时，令得. 当时，当时， 无极大值.4分（） 5分 当，即时， 在上是减函数； 当，即时，令得或 令得 当，即时，令得或 令得 7分 综上，当时，在定义域上是减函数； 当时，在和单调递减，在上单调递增； 当时，在和单调递减，在上单调递8分（）由（）知，当时，在上单调递减， 当时，有最大值，当时，有最小值. 10分而经整理得 由得，所以4（2010辽宁理数）（本小题满分12分）已知函数（I）讨论函数的单调性；（II）设.如果对任意，求的取值范围。解：（）的定义域为（0，+）. .当时，0，故在（0，+）单调增加；当时，0，故在（0，+）单调减少；当-10时，令=0，解得.则当时，0；时，0.故在单调增加，在单调减少.（）不妨假设，而-1，由（）知在（0，+）单调减少，从而 ，等价于， 令，则等价于在（0，+）单调减少，即 . 从而 故a的取值范围为（-，-2. 12分5.已知函数（I）当时，求函数的单调区间；（II）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为45o，问：m在什么范围取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值？ （I）当时， 2分 令时，解得，所以在（0，1）上单调递增； 4分 令时，解得，所以在（1，+）上单调递减 6分（II）因为函数的图象在点（2，）处的切线的倾斜角为45o， 所以 所以， 8分 ， ， 10分 因为任意的，函数在区间上总存在极值， 所以只需 12分 解得 14分6.已知函数(a为实常数).(1)若，求证：函数在(1，+)上是增函数； (2)求函数在1，e上的最小值及相应的值；(3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围.解析：（1）当时，当，故函数在上是增函数4分（2），当，若，在上非负（仅当，x=1时，），故函数在上是增函数，此时6分若，当时，；当时，此时是减函数； 当时，此时是增函数故若，在上非正（仅当，x=e时，），故函数在上是减函数，此时8分综上可知，当时，的最小值为1，相应的x值为1；当时，的最小值为，相应的x值为；当时，的最小值为，相应的x值为10分（3）不等式，可化为, 且等号不能同时取，所以，即，因而（）12分令（），又，14分当时，从而（仅当x=1时取等号），所以在上为增函数，故的最小值为，所以a的取值范围是 16分7.已知函数（1）求的单调区间；（2）设，若在上不单调且仅在处取得最大值，求的取值范围解：（1）-2分 若，则，所以此时只有递增区间（-4分 若，当 所以此时递增区间为：（，递减区间为：（0，-6分 （2），设 若在上不单调，则， -10分同时仅在处取得最大值，即可 得出：-14分 的范围：8.已知函数（）若函数在，处取得极值，求，的值；（）若，函数在上是单调函数，求的取值范围21解：（）， 由 ，可得 （）函数的定义域是， 因为，所以 所以要使在上是单调函数，只要或在上恒成立10分当时，恒成立，所以在上是单调函数； 当时，令，得，此时在上不是单调函数； 当时，要使在上是单调函数，只要，即综上所述，的取值范围是 9.已知函数f (x)x3ax2bx， a , bR() 曲线C：yf (x) 经过点P (1，2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y2x1，求a，b的值；() 已知f (x)在区间 (1，2) 内存在两个极值点，求证：0ab2()解: ，由题设知： 解得 6分()解：因为在区间内存在两个极值点 ，所以，即在内有两个不等的实根故由 (1)+(3)得.由（4）得，因，故，从而.所以 10（本小题满分14分）设函数，已知 ，且（aR，且a0），函数（bR，c为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。（1）试求a、b的值；（2）若时，函数的图象恒在函数图象的下方，求正整数的值。解析：（1）， 又，即 由得，又时，、不成立，故-2分，设x1、x2是函数的两个极值点，则x1、x2是方程=0的两个根，x1+x2=，又 A、O、B三点共线， =，=0，又x1x2，b= x1+x2=，b=0-6分（2）时， -7分由得，可知在上单调递增，在上单调递减， -9分由得的值为1或2（为正整数） -11分时，记在上切线斜率为2的切点的横坐标为，则由得，依题意得，得与矛盾（或构造函数在上恒正）综上，所求的值为1或29