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第六章 不等式* 6.1 不等式的性质 *魔法石核心知识归纳:1、等价性质: 此性质是比较两式大小的一种常用方法:作差、判断与0的大小关系2、基本性质:对称性:传递性:可加性:可乘性: 注意:只有对称性是双剪头,其余都只能从左推出右,可乘性必须考虑C的符号,这是最易忽视的。3、拓展性质:移项法则:加法法则:减法法则:乘法法则:除法法则:乘方法则:开方法则:以上法则均是从左至右单向变换,在解不等式时用得较多。找捷径难点疑点突破:1必须注意同向只能相加,不能相减例1:设f (x)=ax2+bx,且5f (1)7,-3f (-1)-1,则a、b的取值范围是。解: f (1)= a+b f (-1)= a-b5a+b7-3a-b-1由+得1a3由得1b- a3由+得3b4点评:为了求出b值。不能用-得出。只能化为式,再同向相加,否则是错误的。2、同向相乘必须注意两式均大于0。例2:已知sin+cos,-sin-cos-,求cos2的取值范围。解:-sin-cos- cos- sin 由得cos2- sin2 即cos2点评:这里式为非正数,不能直接与式对应相乘,必须转化为大于0再相乘。3注意各性质之间的充分性和必要性。例3:a+b2,ab1是a1且b1成立的什么条件? a+b2,(a-1)(b-1)0是a1且b1成立的什么条件?解:必要条件;充要条件当a=3,b=时,ab=1且a+b2,而a1且b1显然有ab1且a+b2(a-1)(b-1)0,则a-1与b-1同号,又a+b2 (a-1)+ b-10a1且b1,反过来显然成立。点评:这里实际说明同向不等式相加、相乘都是单向变换,而非双向变换。金钥匙解题方法与技巧:例1:判断下列命题的真假,并说明理由:解题规律: 由于ac2bc2 中没有等号,故c20,若有等号,则c2=0是有可能的,若是,则c20(1)(2)(3)对于字母a、b小于0的不等式问题,一般都转化为大于0来分析,这里抓住了ab0,问题还可以作如下转化:ab0化为-a-b0。(4)(5)若ab0,则 和 均成立。解析:、正确。 ab a+(-c)b+(-c) a-cb-c 在利用不等式的性质判断不等式的真伪时,关键在搞清楚不等式性质的条件与所研究问题条件的一致性,而否定一个结论只需举一个反例即可。、错误。 若c0时 ac0, 则 若ab0,则abab ba例2:比较大小:已知:a1, 和 ,试比较M与N的大小。解析:比较大小的依据就是利用不等式的等价性,作差或作商都可。解题规律:两数比较大小可以作差比较,(分解因式或配方),也可以作商比较,但是作商比较时,需注意两个式子的值是大于0还是小于0,它适应于单项式。如: 但-2-3,对于无理差式一般地转化为无理和式,这样可以判定与0的大小关系。a1 a-1, a, a+1 均为正数,且a-1a+1 即 MN点金术思维拓展发散例3:不等式性质与函数二次函数。已知二次函数y=f (x)的图象过原点,且 1f (-1)2, 3f (1)4,求f (-2)的范围。思维互动:生: f (-2) = 4a-2b,又 1f (-1)2 1a-b2 ,3f (1)4 3a+b4,则:+得2a3由得-2b-a-1,+得,由、分别可得 84a12 所得结果与前面结果不同。师:此范围较正解范围偏大,原因是变形过程中多次运用了不等式性质,扩大了变量的取值范围。解析:可设f (x)=ax2+bx的图象过原点,则f (-2) = +4a-2b,若能求出a、b,用f (-1)和f (1)表示则问题获得。 f (1)=a+b f (-1)=a-b 又:f (-2)= 4a-3b= f (-1) +f (1) 且 1f (-1)2, 3f (1)4 6 f (-2) 10也可用待定系数法:设f (-2)=m f (1) + n f (-1)方法规律:利用不等式求变量范围时,尽量减少同向相加和同向相乘的次数,方法是先用已知变量来表示要求变量,再用不等式代入。例4:证明不等式已知:,求证:解析:这是一个有条件的不等式的证明问题,故需从条件入手进行分析,由条件能得出一些什么结论。证明:由 且 且ba故有:又:而 方法规律:这里的大小比较采用了放缩法(如)、及命题转化法(如平方差),一般地无理式比较大小,通常将它转化为有理式。例5:不等式性质与三角函数。已知函数f (x)=tan x, x(0, ),若x1x2(0, ),且x1x2,比较 与 的大小。解析:要比较的两个式子都较抽象,首先应具体化,再作差解决。思维互动:生:由两式可以看出两式的分子与分母均为大于0的数。故只需比较分母大小关系就行。而式分母02cosx1cosx2=cos(x1+x2)+cos(x1-x2)0, 可得上述大小结论。师:这个方法很好,用到了不等式的可乘性,只是注意大于0的这个条件。f (x1)+f (x2)=+=f ()=tan=f (x1)+f (x2)-f ()=sin(x1+x2)-=x1x2(0,),且x1x2 x1x2(-,),且x1+x2(0,)cosx10,cosx20,1-cos(x1+x2)0,1+cos(x1+x2)0,sin(x1+x2)0f (x1)+f (x2)-f ()0 f (x1)+f (x2)f ()方法规律:对三角函数不等式问题的证明,要善于利用正、余弦函数的有界性来判定符号。例6:我们知道:在ABC中,若c2=a2+b2,则ABC是直角三角形。现在请你研究:若cn=an+bn(n2),问ABC是何种三角形,为什么?解析:本题条件较为抽象,可先考虑n=3,试探结论。取a=b=1 则 , 画草图可知:ABC为锐角,这就有了目标,证ABC为锐角三角形。cn=an+bn(n2) ca, cb由c是ABC的最大边,故要证ABC为锐角三角形,只需证明cos c0只需证明 a2+b2c2 即证( a2+b2)cn-2cn ca, cb n2 cn-2an-2, cn-2bn-2即:cn-2-an-20, cn-2-bn-20-从而:( a2+b2)cn-2- cn=( a2+b2)cn-2-an-bn = a2(cn-2- an-2)+ b2(cn-2- bn-2)0 a2+b2c2 即cos c0 c是锐角,ABC为锐角三角形。方法规律:对于与n有关的探索性问题,可以从特殊值来找规律,确定解题的方向与目标。根据不等式的等价性,通常将要证不等式转化为比较大小,即作差或作商,这是证明不等式的常用方法。要说明某个多项式大于0,可考虑1分解因式,2配方,3说明每个单项式均大于0。试试看潜能挑战测试:基础知识1、a、b是任意实数,且ab,则( )A、a2b2B、 C、lg (a-b)0D、2、若x+y0,a0,ay0, 则xy的值为( )A、大于0B、小于0C、等于0D、符号不确定3、设ab,则下列不等式成立的是:( )A、B、C、D、2a2b4、已知命题:a1且b1,则与此命题等价的命题是:A、a+b2且ab1 B、a2且b0 C、a0且b0 D、a-10且b-105、已知:a0,b0则下列各式成立的是( )A、B、C、D、a+b6、已知三个不等式:ab0, ,bcad,以其中两个作为条件,余下一个作为结论,则可以组成 个真命题。7、若角、满足,则2-的取值范围 。8、若ab0,比较大小.9、在等比数列a n和等差数列b n中,a1=b10, a3=b30,a1a3,试比较a5b5。思维拓展10、已知f (x)= ax2- c 且 - 4f (1)- 1, - 1f (2)5, 求f (3)的取值范围。11、设a、b、m、n是正数,且m+n=1,比较与的大小。12、设f (x)= x2+1,g(x)=f f (x),令F (x)=g (x) -f (x) 问是否存在,使 F (x)在区间上是减函数,且在区间上是增函数。13、已知函数f (x)= ax2+4x+b(a, bR, a0),设关于x的方程f (x)= 0的两实根为x1和x2,f (x)=x的两实根为、,若12 求证:x1x22应用创新14、4支郁金香和5支丁香的价格之和小于22元,6支郁金香和3支丁香的价格之和大于24元,则2支郁金香与3支丁香比较:在付款时哪种情况付款多?15、一间房子的地面平方为a,窗子的平方为b,如果地面平方a与窗子平方b同时增m平方,问房子采光的效果与原来相比是变好了还是变差了?16、甲、乙二人沿同一条路,同时从A地出发走向B地,甲用速度V1与V2(V1V2)各走全程的一半,乙用速度V1与V2各走全程所需时间的一半,试判定甲、乙两人谁先到达B地。17、甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本如下表:某食物营养 研究所用xkg甲种食物,ykg乙种食物,zkg丙种食物配成100kg的混合食物,并使混合物中至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B。(1)用x、y、z表示混合物的成本C(元)。(2)确定x、y、z之值,使混合物的成本最低。标准答案与提示1、D (点拨:函数 ,为减函数ab f (a)f (b) a0ay02、A (点拨: y0,x+y0 xyx+y0 ) 3、D (点拨:由f(x)=2x为增函数可知。)4、D(点拨:, )5、A (点拨:可用特值法:令a=b=1代
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