2 . 1.2离散型随机变量的分布列一、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母八Y等表示 .2 .离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变 量叫做离散型随机变量.3 .连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变 量就叫做连续型随机变量.4 .离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以 列出若 是随机变量，ab,a,b是常数，则 也是随机变量.并且不改变其属性(离散型、连续型)请同学们阅读课本 P5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？ 二、讲解新课：1.分布列：设离散型随机变量E可能取得值为Xi , X2 , , X3,士取每一个值Xi (i=1, 2,)的概率为 P(Xi) pi,则称表七X1X2XiPP1P2P为随机变量己的概率分布，简称己的分布列.2 .分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足：0 P(A) 1 ,并且不可能事件的概率为0,必然事件的概率为 1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个 性质：(DP0, i =1, 2,； R+P2+.=1.对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即 P(Xk) P(Xk) P( Xk1)3 .两点分布列：例1.在掷一枚图钉的随机试验中，令x= 1针尖向上；0,针尖向下.如果针尖向上的概率为 p,试写出随机变量 X的分布列.解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是(1 p) .于是，随机变量 X的分布列是01P1 pp像上面这样的分布列称为两点分布列两点分布列的应用非常广泛.如抽取的彩券是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等，都可以用两点分布列来研究.如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布 (two point distribution),而称p =P (X = 1 )为成功概率.两点分布又称0 1分布.由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利(Bernoulli )试验，所以还称这种分布为 伯努利分布.P 0 q,P 1 p,0 p 1 , p q 1 .4 .超几何分布列：例2.在含有5件次品的100件产品中，任取 3件，试求：(1)取到的次品数 X的分布列；(2)至少取到1件次品的概率.解：(1)由于从100件产品中任取3件的结果数为C130 ,从100件产品中任取3件，其中恰有k件次品的结果数为 C：C95 k ,那么从100件产品中任取 3件，其中恰有 k件次 品的概率为k 3 kP(X k) -573Jk 0,1,2,3。C100所以随机变量 X的分布列是X0123Pc0。3C5 c95C1C2C5c95C2C1C5 c95r3r0C5c95C3C100C3C100C3C100C3C100(2)根据随机变量 X的分布列，可得至少取到1件次品的概率P ( X1 ) = P ( X = 1 ) + P ( X = 2 ) + P ( X = 3 ) 0.138 06 + 0. 005 88 + 0. 00006=0. 144 00 .一般地，在含有 M件次品的N件产品中，任取 n件，其中恰有 X件次品数，则事件 X=k 发生的概率为P(Xk)k nCM CNcN,k 0,1,2,L ,m,其中 m minM,n,且 n N,M N,n,M,N N .称分布列X01mPCM CN M11n 1CM CN Mmn m CM CN MCNcNcN为超几何分布列.如果随机变量 X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布(hypergeometriC distribution ).例3.在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.一次从中摸出 5个球，至少摸到 3个红球就中奖.求中奖 的概率.解：设摸出红球的个数为X,则X服从超几何分布，其中 N = 30 , M=10, n=5.于是中奖的概率P (X 3 ) = P (X =3 ) + P ( X = 4 )十 P ( X = 5 )35 345 4C10C3010C10C3010C5C5C30C3055 5C10C30 10C30 0.191.思考：如果要将这个游戏的中奖率控制在55%左右，那么应该如何设计中奖规则?p k CmCNk/CN例4.已知一批产品共 M件,其中 M件是次品，从中任取 附件，试求这 邦件产品中所含 次品件数X的分布律。解显然,取得的次品数只能是不大于 反与产最小者的非负整数，即立 的可能取值为：0,1,min M ,n,由古典概型知P(X k)k n kCM CN M ,kCN0,1,2,L ,m此时称 服从参数为(N, M ,n)的超几何分布。注 超几何分布的上述模型中，任取元件”应理解为 不放回地一次取一件，连续取理件”.如果是有放回地抽取，就变成了用重贝努利试验，这时概率分布就是二项分布.所以两个分布的区别就在于是不放回地抽样，还是有放回地抽样.若产品总数很大时，那么不放回抽样可以近似地看成有放回抽样.因此，当时，超几何分布的极限分布就是二项分布，即有 如下定理.定理如果当g时 M p ,那么当g时(丸不变)，则Nc k c nCmCncNCk kn kN P (1P)由于普阿松分布又是二项分布的极限分布，于是有：超几何分布f二项分布，普阿松分布.例5. 一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色二种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半.现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得。分，取出绿球得-1分，试写出从该盒中取出一球所得分数E的分布列.分析：欲写出己的分布列，要先求出 己的所有取值，以及 己取每一值时的概率.解：设黄球的个数为 n,由题意知绿球个数为2n,红球个数为4n,盒中的总数为 7n.P( 1)包4,P( 0)ALP( 1)37n77n77n7所以从该盒中随机取出一球所得分数己的分布列为101P471727说明：在写出E的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为例6.某一射手射击所得的环数 E的分布列如下：1 .45678910P0.020.040.060.090.280.290.22求此射手“射击一次命中环数7”的概率.分析：“射击一次命中环数7”是指互斥事件“己=7、“己=8、“七=9”、“己=10” 的和，根据互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射击一次命中环数7”的概率.解：根据射手射击所得的环数E的分布列，有P(己=7) = 0.09 , P(己=8) = 0.28 , P(己=9) = 0.29 , P( E =10) = 0.22.所求的概率为 R E 7) =0.09+0.28+0.29+0.22 = 0.88四、课堂练习：某一射手射击所得环数分布列为45678910P0. 020. 040. 060. 090. 280. 290. 22求此射手“射击一次命中环数7”的概率.解：“射击一次命中环数7”是指互斥事件“=7”， =8， =9”，“ =10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，有：P (7) =P ( =7) +P ( =8) +P ( =9) +P ( =10) =0.88 *注：求离散型随机变量的概率分布的步骤：(1)确定随机变量的所有可能的值Xi(2)求出各取值的概率 p( =Xi)=pi(3)画出表格.五、小结：根据随机变量的概率分步(分步列)，可以求随机事件的概率；两点分布是一种常见的离散型随机变量的分布，它是概率论中最重要的几种分布之一. (3)离散型随机变量的超几何分布.