第5讲 找规律(一)这一讲我们先介绍什么是“数列”，然后讲如何发觉与找寻“数列”的规律。按肯定次序排列的一列数就叫数列。例如，(1) 1，2，3，4，5，6，(2) 1，2，4，8，16，32；(3) 1，0，0，1，0，0，1，(4) 1，1，2，3，5，8，13。一个数列中从左至右的第n个数，称为这个数列的第n项。如，数列(1)的第3项是3，数列(2)的第3项是4。一般地，我们将数列的第n项记作an。数列中的数可以是有限多个，如数列(2)(4)，也可以是无限多个，如数列(1)(3)。很多数列中的数是按肯定规律排列的，我们这一讲就是讲如何发觉这些规律。数列(1)是根据自然数从小到大的次序排列的，也叫做自然数数列，其规律是：后项=前项+1，或第n项ann。数列(2)的规律是：后项=前项2，或第n项数列(3)的规律是：“1，0，0”周而复始地出现。数列(4)的规律是：从第三项起，每项等于它前面两项的与，即a3=1+1=2，a4=1+2=3，a5=2+35，a6=3+5=8，a7=5+8=13。常见的较简洁的数列规律有这样几类：第一类是数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。例如数列(1)(2)。第二类是前后几项为一组，以组为单元找关系才可找到规律。例如数列(3)(4)。第三类是数列本身要与其他数列比照才能发觉其规律。这类情形稍为困难些，我们用后面的例3、例4来作一些说明。例1 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上适宜的数：(1)4，7，10，13，( )，(2)84，72，60，( )，( )；(3)2，6，18，( )，( )，(4)625，125，25，( )，( )；(5)1，4，9，16，( )，(6)2，6，12，20，( )，( )，解：通过对已知的几个数的前后两项的视察、分析，可发觉(1)的规律是：前项+3=后项。所以应填16。(2)的规律是：前项-12=后项。所以应填48，36。(3)的规律是：前项3=后项。所以应填54，162。(4)的规律是：前项5=后项。所以应填5，1。(5)的规律是：数列各项依次为1=11， 4=22， 9=33， 16=44，所以应填55=25。(6)的规律是：数列各项依次为2=12，6=23，12=34，20=45，所以，应填 56=30， 67=42。说明：本例中各数列的每一项都只与它的项数有关，因此an可以用n来表示。各数列的第n项分别可以表示为(1)an3n+1；(2)an96-12n；(3)an23n-1；(4)an55-n；(5)ann2；(6)ann(n+1)。这样表示的好处在于，假如求第100项等于几，那么不用一项一项地计算，干脆就可以算出来，比方数列(1)的第100项等于3100+1=301。本例中，数列(2)(4)只有5项，当然没有必要计算大于5的项数了。例2 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上适宜的数：(1)1，2，2，3，3，4，( )，( )；(2)( )，( )，10，5，12，6，14，7；(3) 3，7，10，17，27，( )；(4) 1，2，2，4，8，32，( )。解：通过对各数列已知的几个数的视察分析可得其规律。(1)把数列每两项分为一组，1，2，2，3，3，4，不难发觉其规律是：前一组每个数加1得到后一组数，所以应填4，5。(2)把后面已知的六个数分成三组：10，5，12，6，14，7，每组中两数的商都是2，且由5，6，7的次序知，应填8，4。(3)这个数列的规律是：前面两项的与等于后面一项，故应填( 17+27=)44。(4)这个数列的规律是：前面两项的乘积等于后面一项，故应填(832=)256。例3 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上适宜的数：(1)18，20，24，30，( )；(2)11，12，14，18，26，( )；(3)2，5，11，23，47，( )，( )。解：(1)因20-18=2，24-20=4，30-24=6，说明(后项-前项)组成一新数列2，4，6，其规律是“依次加2”，因为6后面是8，所以，a5-a4=a5-30=8，故a5=8+30=38。(2)12-11=1，14-12=2， 18-14=4， 26-18=8，组成一新数列1，2，4，8，按此规律，8后面为16。因此，a6-a5a6-26=16，故a616+26=42。(3)视察数列前、后项的关系，后项=前项2+1，所以a6=2a5+1247+195，a72a6+1295+1=191。例4 找出下列各数列的规律，并按其规律在( )内填上适宜的数：(1)12，15，17，30， 22，45，( )，( )；(2) 2，8，5，6，8，4，( )，( )。解：(1)数列的第1，3，5，项组成一个新数列12，17， 22，其规律是“依次加5”，22后面的项就是27；数列的第2，4，6，项组成一个新数列15，30，45，其规律是“依次加15”，45后面的项就是60。故应填27，60。(2)如(1)分析，由奇数项组成的新数列2，5，8，中，8后面的数应为11；由偶数项组成的新数列8，6，4， 中，4后面的数应为2。故应填11，2。练习5按其规律在下列各数列的( )内填数。1.56，49，42，35，( )。2.11， 15， 19， 23，( )，3.3，6，12，24，( )。4.2，3，5，9，17，( )，5.1，3，4，7，11，( )。6.1，3，7，13，21，( )。7.3，5，3，10，3，15，( )，( )。8.8，3，9，4，10，5，( )，( )。9.2，5，10，17，26，( )。10.15，21，18，19，21，17，( )，( )。11.数列1，3，5，7，11，13，15，17。(1)假如其中缺少一个数，那么这个数是几？应补在何处？(2)假如其中多了一个数，那么这个数是几？为什么？答案与提示练习51.28。2.27。3.48。4.33。提示：“后项-前项”依次为1，2， 4，8，16，5.18。提示：后项等于前两项之与。6.31。提示：“后项-前项”依次为2，4，6，8，10。7.3，20。8.11，6。9.37。 提示：an=n2+1。10. 24，15。提示：奇数项为15，18，21，24；偶数项为21，19，17，15。11.(1)缺9，在7与11之间；(2)多15，因为除15以外都不是合数。第6讲 找规律(二)这一讲主要介绍如何发觉与找寻图形、数表的改变规律。例1 视察下列图形的改变规律，并根据这个规律将第四个图形补充完好。分析与解：视察前三个图，从左至右，黑点数依次为4，3，2个，并且每个图形依次按逆时针方向旋转90，所以第四个图如右图所示。视察图形的改变，主要从各图形的形态、方向、数量、大小及各组成局部的相对位置入手，从中找出改变规律。例2 在下列各组图形中找寻规律，并按此规律在“？”处填上适宜的数：解：(1)视察前两个图形中的数可知，大圆圈内的数等于三个小圆圈内的数的乘积的一半，故第三个图形中的“？”=5382=60；第四个图形中的“？”=(212)32=7。(2)视察前两个图形中的已知数，发觉有10=8+5-3， 8=7+4-3，即三角形里面的数的与减去三角形外面的数就是中间小圆圈内的数。故第三个图形中的“？”=12+1-5=8；第四个图形中的“？”=7+1-5=3。例3 找寻规律填数：解：(1)考察上、下两数的差。32-16=16，31-15=16，33-17=16，可知，上面那个“？”=35-16=19，下面那个“？”=18+16=34。(2)从左至右，一上一下地看，由1，3，5，？，9，知，12下面的“？”=7；一下一上看，由6，8，10，12，？，知，9下面的“？”=14。例4 找寻规律在空格内填数：解：(1)因为前两图中的三个数满意：256=464，72=612，所以，第三图中空格应填1215=180；第四图中空格应填16913=13。第五图中空格应填2247=32。(2)图中下面一行的数都是上一行对应数的3倍，故43下面应填433=129；87上面应填873=29。例5在下列表格中找寻规律，并求出“？”：解：(1)视察每行中两边的数与中间的数的关系，发觉3+8=11，4+2=6，所以，？=5+7=12。(2)视察每列中三数的关系，发觉1+32=7，7+22=11，所以，？=4+52=14。例6 找寻规律填数：(1)(2)解：(1)视察其规律知(2)视察其规律知：视察比拟图形、图表、数列的改变，并能从图形、数量间的关系中发觉规律，这种实力对于同学们今后的学习将大有好处。练习6找寻规律填数：6.下图中第50个图形是还是？答案与提示练习61.5。提示：中间数=两腰数之与底边数。2.45；1。提示：中间数= 四周三数之与3。3.(1)13。提示：中间数等于两边数之与。(2)20。提示：每行的三个数都成等差数列。4.横行依次为60，65，70，75，325；竖行依次为40， 65， 90， 115， 325。5.14。提示：(23 5) 2=14。6.。7. 714285；857142。8. 8888886； 98765439。9.36。提示：等于加式中心数的平方。