因式分解的常用方法第一局部：方法介绍因式分解： 因式分解是指将一个多项式化成几个整式的积的形式， 主要有提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法等因式分解的一般步骤是： 1 通常采用一“提、二“公、三“分、四“变的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； 2假设上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项添项等方法；。注意：将一个多项式进展因式分解应分解到不能再分解为止。一、提公因式法.： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过假设干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：(1) (a+b)(a-b) = a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b) ；(2)(a b)2=a2 2ab+b2a2 2ab+b2=(a b)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b 2) = a3-b3a3-b3=(a-b)(a2+ab+b 2) 下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b 2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a3+b 3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.a, b, c是 ABC 的三边，且 a2 b2 c2 ab bc ca ,那么 ABC 的形状是 A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形 D等腰直角三角形222222解： a b c ab bc ca 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca(a b)2 (b c)2 (c a)2 0 a b c三、分组分解法.一分组后能直接提公因式例1、分解因式： am an bm bn分析：从“整体看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部看，这个多项式前两项都含有 a,后两项都含有b, 因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两 组之间的联系。解：原式 =(am an) (bm bn)二 a(m n) b(m n)每组之间还有公因式！=(m n)(a b)例2、分解因式：2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组。原= (2ax=(2ax bx) ( 10ay 5by)=2a(x 5y) b(x 5y)=(x 5y)(2a b)解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。10ay) (5by bx)原 式=x(2a b) 5y(2a b)=(2a b)(x 5y)练习：分解因式 1、a2 ab ac bc2、xy x y 1二分组后能直接运用公式例3、分解因式：x2 y2 ax ay分析：假设将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公 因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。22解：原式=(xy )(axay)=(xy)(xy) a(xy)=(xy)(xy a)例4、分解因式：a2 2ab b2 c2解：原式=(a2 2ab b2) c2=(a b)2 c2=(a b c)(a b c)练习：分解因式 3、x2 x 9y22223y 4、x y z 2yz综合练习：1x3 x2y xy2 y32ax2 bx2 bx ax a b3x2 6xy 9y2 16a2 8a 1 4a2 6ab 12b 9b2 4a 5a4 2a3 a2 964a2x 4a2y b2x b2y7x2 2xyxz yz y28a22ab2 2b2ab 19y( y 2)(m 1)( m 1)10(a c)(ac)b(b 2a)11a2(bc)b2(ac)c2(a b)2abc12a3b3c33abc四、十字相乘法.一二次项系数为 1的二次三项式直接利用公式 x2 (p q)x pq (x p)(x q)进展分解。特点：1二次项系数是1 ；2常数项是两个数的乘积；3一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么根本规律？2例.0V aw 5,且a为整数，假设2x 3x a能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a.解析：但凡能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c ,都要求 b2 4ac0而且是一个完全平方数。于是 9 8a为完全平方数，a 12例5、分解因式：x 5x 6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2 X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6),从中可以发现只有 2X 3的分解适合，即2+3=5。1-. _ .2.2_2_解：x 5x 6= x (2 3)x 2 3 13=(x 2)(x 3)1 x 2+1 x 3=5用此方法进展分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数 的代数和要等于一次项的系数。7x 6(1) ( 6)x ( 1)( 6)1)(x 6) 1-6例6、分解因式：x2解：原式=x2=(x-1+ -6= -7练习5、分解因式x2 14x 24_2_一_2._(2)a15a36(3)x4x52_练习6、分解因式x2 x 222(2)y 2y 15(3)x 10x 24二二次项系数不为 1的二次三项式ax2 bx c条件：123分解结果：a a1a2 a c1c c1c2 a2 c2b a1c2a2Gb2ax bx c= (a1x c1 )(a2x c2)例7、分解因式：3x2 11x 10分析：3-5-6+-5= -112斛：3x 11x 10 = (x 2)(3x练习7、分解因式：15x2 7x 65)_ 2_23x2 7x 2310x2 17x 34 6y2 11y 10三二次项系数为 例8、分解因式：a2 分析：将b看成常数, 乘法进展分解。1的齐次多项式8ab 128b2把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相8b-16b8b+(-16b)= -8b(16b) a 8b ( 16b)16b)解：a2 8ab 128b2= a2 8b=(a 8b)(a练习8、分解因式x2 3xy 2y22222(2)m6mn 8n (3) a ab 6b四二次项系数不为 1的齐次多项式例 9、2x2 7xy 6y21 . -2y2 -3y1-2(-3y)+(-4y尸-7y解：原式二(x 2y)(2x 3y)练习9、分解因式：115x2_2 2_例 10、x y 3xy 2把xy看作一个整体1 X1(-1)+(-2)= -3解：原式二(xy 1)( xy 2)7xy 4y22 a2x2 6ax 8综合练习 10、18x6 7x3 1212x2 11xy 15y23(x y)2 3(x y) 104(a b)2 4a 4b 32222225x y5x y 6x6m 4mn 4n 3m 6n 27x2 4xy 4y2 2x 4y 3 85(a b)2 23(a2 b2) 10(a b)294x2 4xy 6x 3y y2 101012(x y)2 11(x2 y2) 2(x y)2思考：分解因式：abcx2 (a2b2 c2)x abc五、换元法。(1)、换单项式例1分解因式x6+ 14x3y + 49y2.分析：注意到x6=x32,假设把单项式x3换元，设x3 = m,那么x6=m2,原式变形为m2 + 14my + 49y2= (m + 7y)2 = ( x3 + 7y)2(2)、换多项式分解因式(x2+4x+6) + (x 2+6x+6) +x 2.分析：此题前面的两个多项式有一样的局部，我们可以只把一样局部换元，设 x2 +6= m ,那么 x2+4x+6= m+4x , x2+6x+6= m+6x ,原式变形为(m+4x)(m+6x)+x 2= m2 +10mx+24x 2+x2=m2 +10mx+25x2=(m+5x) 2= ( x2 +6+5x)2 =(x+2)(x+3) 2= (x+2) 2 (x+3)2.以上这种换元法，只换了多项式的一局部，所以称为“局部换元法. 当然，我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元，就成了 “整体 换元法.比方，设x2+4x+6=m ,那么x2+6x+6=m+2x ,原式变形为m(m+2x)+ x 2 = m2+2mx+x 2= (m+x) 2= ( x2+4x+6+x) 2= ( x2+5x+6)2 =(x+2)(x+3) 2= (x+2) 2 (x+3)2.另外，还可以取前两个多项式的平均数进展换元，这种换元的方法被1称为“均值换元法，可以借用平方差公式简化运算.对于本例，设m= 2(x2+4x+6) + (x 2+6x+6)= x 2+5x+6 ,那么 x2+4x+6=m-x , x2+6x+6=m+x , (m+x)(m-x)+x 2= m 2-x2+x2 = m 2= (x2+5x+6) 2= (x+2)(x+3) 2=(x+2) 2 (x+3)2.例 3分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.分析：这道题的前面是四个多项式的乘积，可以把它们分成两组相乘，使之转化成为两个多项式的乘积.无论如何分组，最高项都是x2,常数项不相等，所以只能设法使一次项一样.因此，把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为(x-1) (x+2)(x-3)(x+4) = (x 2+x-2) (x2+x-12),从而转化成例 2 形式加以解决. 一，、一1. 一我们米用 均值换兀法，设 m=鼻(x2+x-2)+(x2+x-12)=x2+x-7,那么 x2+x-2=m+5 , x2+x-2= m-5 ,原式变形为(m+5)(m-5)+24=m 2-25+24=m 2-1=(m+1)(m-1)=( x 2+x-7+1)( x 2+x-7-1)=(x2+x-6)( x2+x-8)= (x-2)(x+3)( x 2+x-8).(3)、换常数例 1分解因式 x2(x+1)-2003X 2004x.分析：此题假设按照一般思路解答，很难奏效.注意到200& 2004两个数字之间的关系，把其中一个常数换元.比方，设 m=2003,那么2004=m+1.于是，原式变形为x2(x+1) m(m+1)x= xx(x+1)-m(m+1) = x(x 2+x-m 2-m)=x(x2 -m2) +(x-m)= x(x+m) (x-m)+(x-m) =x(x-m)(x+m+1)= x(x-2003)(x+2003+1)= x(x-2003)(x+2004).例 13、分解因式12005x2 (200