解答题(八)17(2019江西南昌一模)如图，四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1底面ABCD，且BAD60，CDCC12C1D14，E是棱BB1的中点(1)求证：AA1BD；(2)求二面角EA1C1C的余弦值解(1)证明：因为CC1底面ABCD，所以C1CBD，因为底面ABCD是菱形，所以BDAC.又ACCC1C，所以BD平面AC1C，又由四棱台ABCDA1B1C1D1，知A1，A，C，C1四点共面，所以BD平面A1ACC1，所以BDAA1. (2)设AC交BD于点O，连接A1O，依题意，有A1C1OC且A1C1OC，所以四边形A1OCC1为平行四边形，所以A1OCC1，且A1OCC1.因为CC1底面ABCD，所以A1O底面ABCD.以O为坐标原点，OA，OB，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示则A(2，0,0)，A1(0,0,4)，C1(2，0,4)，B(0,2,0)，由，得B1(，1,4)，因为E是棱BB1的中点，所以E，所以，(2，0,0)，设n(x，y，z)为平面EA1C1的法向量，则取z3，得n(0,4,3)，平面A1C1C的法向量m(0,1，0)，又由图可知，二面角EA1C1C为锐二面角，设二面角EA1C1C的平面角为，则cos，所以二面角EA1C1C的余弦值为.18(2019福建三明质量检查)ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b3(acosBbcosA)，bc8.(1)求b，c；(2)若BC边上的中线AD，求ABC的面积解(1)由正弦定理，得sinB3(sinAcosBsinBcosA)，所以sinB3sin(AB)，因为ABC，所以sin(AB)sin(C)sinC，即sinB3sinC，所以b3c，又因为bc8，所以b6，c2.(2)在ABD和ACD中，由余弦定理，得c2AD2BD22ADBDcosADB，b2AD2CD22ADCDcosADC.因为b6，c2，BDDC，AD，又因为ADBADC，即cosADBcosADC，所以a231，所以cosBAC，又因为BAC(0，)，所以sinBAC.所以ABC的面积SABCbcsinBAC.19(2019湖北黄冈2月联考)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这100件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作为代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.若某用户从该企业购买了10件这种产品，记X表示这10件产品中质量指标值位于(187.4,225.2)的产品件数，求E(X)；一天内抽取的产品中，若出现了质量指标值在(3，3)之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查右面的茎叶图是检验员在一天内抽取的15个产品的质量指标值，根据近似值判断是否需要对当天的生产过程进行检查附：12.6，P(X)0.6826，P(2X2)0.9544，P(3X0)，过抛物线的焦点F且与y轴垂直的直线与抛物线相交于A，B两点，且OAB的周长为2.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l过焦点F且与抛物线C相交于M，N两点，过点M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，切线l1与l2相交于点P，求|PF|2|MF|NF|的值解(1)由题意，知焦点F的坐标为，将y代入抛物线C的方程可求得点A，B的坐标分别为，则|AB|2p，|OA|OB|p，可得OAB的周长为2pp，则2pp2，解得p1.故抛物线C的方程为x22y.(2)由(1)，知抛物线C的方程可化为yx2，求导可得yx.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为ykx(直线l的斜率显然存在)联立方程整理，得x22kx10，则所以y1y2k(x1x2)12k21，y1y2xx.因为y1x，yx1，所以直线l1的方程为yxx1(xx1)，即yx1xx.同理可得直线l2的方程为yx2xx.联立方程解得则点P的坐标为.由抛物线的几何性质，知|MF|y1，|NF|y2，|PF|，所以|MF|NF|y1y2(y1y2)(2k21)k21，所以|PF|2|MF|NF|0.21(2019河南濮阳5月模拟)已知aR，函数f(x)ln (x1)x2ax2.(1)若函数f(x)在2，)上为减函数，求实数a的取值范围；(2)设正实数m1，m2满足m1m21，求证：对(1，)上的任意两个实数x1，x2，总有f(m1x1m2x2)m1f(x1)m2f(x2)成立解(1)由题意，知f(x)2xa，函数f(x)在2，)上为减函数，即f(x)0在x2，)上恒成立，即a2x在x2，)上恒成立，设h(x)2x，当x2时，单调递减，2x单调递增，h(x)在2，)上单调递增，h(x)minh(2)4，a，即a的取值范围为.(2)证明：设1x1x2，令F(x)f(m1xm2x2)m1f(x)m2f(x2)，x(1，x2，则F(x2)f(m1m2)x2(m1m2)f(x2)0，F(x)m1f(m1xm2x2)m1f(x)m1f(m1xm2x2)f(x)，m1xm2x2xx(m11)m2x2m2xm2x2m2(x2x)0，m1xm2x2x，f(x)2xa，令g(x)f(x)，则g(x)20，f(x)在x(1，)上为减函数，f(m1xm2x2)f(x)，m1f(m1xm2x2)f(x)0，即F(x)0，F(x)在x(1，x2上是减函数，F(x)F(x2)0，即F(x)0，f(m1xm2x2)m1f(x)m2f(x2)0，x(1，x2时，f(m1xm2x2)m1f(x)m2f(x2)，1x1x2，f(m1x1m2x2)m1f(x1)m2f(x2)22在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：cos3，曲线C2：4cos.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设点Q在C2上，求动点P的极坐标方程解(1)联立解得cos，02的解集；(2)若二次函数yx22x3与函数yf(x)的图象恒有公共点，求实数m的取值范围解(1)当m5时，f(x)由f(x)2解得不等式的解集为.(2)由二次函数yx22x3(x1)22，该函数在x1处取得最小值2，因为f(x)在x1处取得最大值m2，所以要使二次函数与yf(x)的图象恒有公共点，只需m22，即m4.