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.第一章 空间几何体达标复习课一、空间几何体的结构【课标要求】利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形,认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构【例题1】1、请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的.2、通过观察下列几何体,并结合生活实际经验,总结简单组合体各种组合形式.3、请你分析正方体与球体可能组合成哪几种不同的组合体,每种组合体中长方体和球体之间又具有什么样的关系?【解析】解决此类题目,首先对简单几何体的结构要很熟悉,其次会将组合体进行分解或转化简单几何体。【答案】1、 图(1)是一个四棱锥和一个长方体拼接成的,这是多面体与多面体的组合体;图(2)是一个圆台挖去一个圆锥构成的,这是旋转体与旋转体的组合体;图(3)是一个球和一个长方体拼接成的,这是旋转体与多面体的组合体.2、常见的组合体有三种:多面体与多面体的组合;多面体与旋转体的组合;旋转体与旋转体的组合.其基本形式实质上有两种:一种是由简单几何体拼接而成的简单组合体,如图(1)和(3)所示的组合体;另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的简单组合体,如(2)所示的组合体;3、常见的球与正方体构成的简单组合体及其结构特征:1正方体的八个顶点在同一个球面上,此时正方体称为球的内接正方体,球是正方体的外接球,并且正方体的对角线是球的直径;2球与正方体的所有面相切,则正方体的棱长等于球的直径,此时球是正方体的内切球;3球与正方体的所有棱相切,则正方体每个面上的对角线长等于球的直径;【归纳拓展】研究组合体的结构特征,要注意两个方面:(1)是有哪些简单几何体构成的;研究其构成方式,是拼接还是截去或挖去;要做到以上两点,就要熟练掌握一些常见简单几何体的结构特征。【变式训练1】1、如图,观察四个几何体,其中判断正确的是( )A.(1)是棱台 B.(2)是圆台C.(3)是棱锥 D.(4)不是棱柱2、请描述如图所示的组合体的结构特征。精品.二、简单空间图形的三视图【课标要求】能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会使用材料(如纸板)制作模型,会用斜二侧法画出它们的直观图【例题2】如图是一个倒置的四棱柱的两种摆放,它的上下底面都是直角梯形,试分别画出其三视图,并比较它们的异同.正视正视【解析】解题时注意侧面的不同朝向对三视图的影响,作图时还要注意画三视图的要求。【答案】两种摆放方式的三视图如图所示,显然它们的俯视图相同,正视图和侧视图不同。正视图侧视图俯视图正视正视图侧视图俯视图正视【归纳拓展】1、三视图是新课标中新增的内容,要求是能画,能识别,能应用,经常与立体几何中有关的计算问题融合在一起考查,如面积、体积的计算,考查学生的空间想象能力,因此我们应对常见的简单几何体的三视图有所理解,能够进行识别和判断。2.注意三视图的特点:精品.“正、侧一样高,正、俯一样长,俯、侧一样宽”。3.空间想象能力与多观察实物相结合是解决此类问题的关键。【变式训练2】1、 下面物体的三视图有无错误?如果有,请指出并改正. 侧视图俯视图正视图2、将一个长方体挖去两个小长方体后剩余的部分如图所示,试画出这个组合体的三视图.【变式训练3】下列两图分别是两个简单组合体的三视图,想象它们表示的组合体的结构特征,并画出其示意图.侧视图俯视图正视图(2)侧视图俯视图正视图(1) 精品.三、简单空间图形的直观图【课标要求】通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式【例题3】画水平放置的边长为2cm的正三角形的直观图(要求写出画法步骤),并求直观图的面积。【解析】本题考查斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,画图时注意画法规则,求直观图的面积,要根据原图尺寸,通过画法规则来推算直观图中长度和角度,再用于面积计算。【答案】(1)画法:按如下步骤完成:第一步:在已知正三角形中,取所在直线为轴,取对称轴为轴,画对应的轴、轴,使(或);第二步:在轴上取,在轴上取;第三步:连结、,所得就是正三角形的直观图。ABCxyOA45BCxyo(2)在直观图中,OC=OC=,AB C的高为OCsin45=,AB C面积为S=。【归纳拓展】1、用斜二测画法画直观图,关键是掌握水平放置的平面图形的直观图的画法,而画水平放置的平面图形的关键是确定多边形的顶点,多边形顶点的位置一旦确定,依次连接这些顶点就可画出多边形来;2、斜二测画法的作图技巧:在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的直角坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,便于画点,实际作图时,通常以原图形的对称轴、原有垂直正交的直线为坐标轴,或者以图形的对称点为原点来建立直角坐标系;画图时注意画法规则,对于不在轴上,也不在平行于轴的线段上的点,通过作平行于轴的线段来辅助确定这个点的位置。【变式训练4】1、 等腰梯形ABCD,上底边CD=1,腰AD=CB=,下底AB=3,按平行于上下底边取x轴来画此等腰梯形的直观图,要求写出画法步骤,并求直观图的面积。精品.BDCA2、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形,如图,ABC=45,AB=AD=1,DCBC,求这个平面图形的面积。BDCA四、几何体表面积和体积【课标要求】了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)【例题4】已知一几何体ABCDABCD的正视图、侧视图和俯视图分别为图中的所示.图中的四边形DCCD是面积为80的矩形;图中的四边形ABCD是一直角梯形,AB=2AD且BC=CD;图中CC=2AC;请你画出该几何体的直观图(画图时、尺寸比例不做严格要求)并求该几何体的体积.【解析】本题综合考查三视图、空间几何体的体积等知识,先通过三视图,还原出直观图,再通过题目条件提供的数据信息计算出三视图中长度,以此推算直观图中的线段长和位置关系,最后计算出几何体体积。【答案】由三视图可分析出几何体是一放倒的四棱柱,底面是直角梯形,直观图如图所示,精品.BDCABDCA在图中设AD=x,BC=y,四边形ABCD是一直角梯形,AB=2AD且BC=CD,构造直角三角形由勾股定理得:(2x)2+(y-x)2=y2,2y=5x,在图中CC =2AC=2y,在图中CC =2y,DC=2x,2x2y=80,即:xy=80,解得x=,y=,在直观图中,AD=,AB=,BC=,CC =,几何体的体积为V=CC=ABCC=280【归纳拓展】三视图通常与立体几何中有关的计算问题融合在一起进行综合考查,如面积、体积的计算,考查学生的空间想象能力,解决这类题的关键首先是要具备比较强的图形还原能力,能将三视图迅速、准确地还原成直观图,这就需要对常见的简单几何体的三视图的还原比较熟练,这需要多积累、多练习,其次要会将三视图中的长度、角度的数据信息,转化为直观图中边棱的长度或位置关系。【变式训练5】1、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为: ( )A. B. C. D. 精品.2 2 侧视图 2 2 2 正视图 俯视图 2、一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:)为: ( ) (A) (B) (C) (D)6 6 36 34 6 34 侧视图 正视图 俯视图 【例题5】过球的半径的中点,作一垂直于这条半径的截面,已知此截面的面积为12 cm2,试求此球的表面积和体积【解析】本题求解的关键借助截面的性质求球的半径。【答案】如图,设截面圆的圆心为O1,OA为球的半径R,12O1A2,精品.O1A2=12,在RtOO1A中,OA2=OO12+O1A2,即R2=+12,R=4(cm),=4R2=416=64(cm2),R3=16=(cm3)。【归纳拓展】1、球的重要性质;球的截面圆的半径、圆心到球心的距离,和球的半径构成直角三角形,此性质是解决球的表面积和体积的重要工具;2、球既是中心对称又是轴对称的几何体,它的任何截面均为圆,因此球的问题常转化为圆的有关问题解决;3、球与旋转体的组合体问题要注意画轴截面,将立体几何问题转化为平面几何问题,利用平面几何的性质加以解决。【变式训练6】已知A、B、C是球O的球面上三点,且AB6,BC10,CA8,若点O到截面ABC的距离为12,试求球的表面积和体积【例题6】有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5,圆心角为的扇形,在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱. (1)求圆锥的体积; (2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?【解析】由圆锥的侧面展开图,圆心角与半径的关系可求圆锥的母线长,底面半径和高,就可以求圆锥的体积,内接圆柱的侧面积是高x的函数,再用代数方法求最值;【答案】(1)因为圆锥侧面展开图的半径为5,所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为R,则2R=5,所以R=3,则圆锥的高为4,故体积V=R24=12;(2)右图为轴截面图,这个图为等腰三角形中内接一个矩形,设圆柱的底面半径为r,O1COB,即,r =,圆柱的侧面积S(x)=2x=(4x-x2)=4-(x-2)2(0x4),当x=2时,S(x)有最大值6,所以当圆柱的高为2时,有最大侧面积6.【归纳拓展】旋转体的接、切问题常考虑其相应轴截面内的接、切情况,实际是把空间图形平面化,转化过来的图形通常三角形、四边形、圆的组合图形,在利用平面几何知识解决问题时,多注意图形之间的相切、相接等特别位置关系。【变式训练7】有一个倒圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器内放一个半径为r的铁球,并注入水,使水面与球正好相切,然后将球取出,求这时容器中水的深度 (完)精品.
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