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1设随机变量X服从参数为的泊松分布,则X的特征函数为 。2设随机过程 其中为正常数,和是相互独立的随机变量,且和服从在区间上的均匀分布,则的数学期望为 。3强度为的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量,且服从均值为 的同一指数分布。4设是与泊松过程对应的一个等待时间序列,则服从 分布。5袋中放有一个白球,两个红球,每隔单位时间从袋中任取一球,取后放回,对每一个确定的t对应随机变量,则 这个随机过程的状态空间 。 6设马氏链的一步转移概率矩阵,步转移矩阵,二者之间的关系为 。7设为马氏链,状态空间,初始概率,绝对概率,步转移概率,三者之间的关系为 。8设是泊松过程,且对于任意则9更新方程解的一般形式为 。10记 。得 分评卷 人二、证明题(本大题共4道小题,每题8分,共32分)1.设为三个随机事件,证明条件概率的乘法公式:。2.设X(t),t0是独立增量过程, 且X(0)=0, 证明X(t),t0是一个马尔科夫过程。3.设为马尔科夫链,状态空间为,则对任意整数和,步转移概率 ,称此式为切普曼科尔莫哥洛夫方程,证明并说明其意义。4.设是强度为的泊松过程,是一列独立同分布随机变量,且与独立,令,证明:若,则。得 分评卷 人三、计算题(本大题共4道小题,每题8分,共32分)1.设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为,求其平稳分布。2.设顾客以每分钟2人的速率到达,顾客流为泊松流,求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为,而今天无雨明天有雨的概率为;规定有雨天气为状态0,无雨天气为状态1。设,求今天有雨且第四天仍有雨的概率。4.设有四个状态的马氏链,它的一步转移概率矩阵()画出状态转移图;()对状态进行分类;()对状态空间进行分解。得 分评卷 人四、简答题(本题6分)简述指数分布的无记忆性与马尔科夫链的无后效性的关系。一填空题1为。2 。3 4 5 。 6。 7。8 9。 10. 二证明题1.证明:左边=右边 2.证明:当时,=,又因为=,故= 3.证明:= =,其意义为步转移概率可以用较低步数的转移概率来表示。 4.证明:由条件期望的性质,而=,所以。 三计算题(每题10分,共50分)1. 解:解方程组和,即解得,故平稳分布为2.解:设是顾客到达数的泊松过程,故,则 3.解:由题设条件,得一步转移概率矩阵为,于是,四步转移概率矩阵为,从而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为。4. 解:(1)图略; (2)均为零,所以状态3构成一个闭集,它是吸收态,记;0,1两个状态互通,且它们不能到达其它状态,它们构成一个闭集,记,且它们都是正常返非周期状态;由于状态2可达中的状态,而中的状态不可能达到它,故状态2为非常返态,记。 (3)状态空间可分解为:四.简答题(6分) 答:(略) 共6页第1页 共6页 第2页
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