1等腰三角形知识点1等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)用符号语言表示为：如图1 1 所示，在 ABC 中，T AB= AC,：/ B = Z C 定理的证明：取BC的中点D，连接ADAB AC(已知),/ BD CD(中点定义), ABDN ACD(SSS).AD AD(公共边),/ B=/ C(全等三角形的对应角相等 ).定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等.拓展等腰三角形还具有其他性质.(1) 等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45(2) 等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角.K(3) 等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b,则 v a.2(4) 等腰三角形的三角关系：设顶角为/A，底角为/ B，/ C，则/ A= 180/ B / C = 180 180 2 / C .知识点2等腰三角形的性质定理的推论).推论1:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”(1) 用符号语言表示为：如图1 3所示， 在 ABC 中，T AB = AC，/ 1 = / 2， AD 丄BC . BD = DC ; 在 ABC 中，T AB = AC，AD 丄 BC，/ 1 = / 2，BD = DC ; 在 ABC 中，T AB = AC，BD = DC，/ 1 = / 2，AD丄 BC .(2) 推论1的证明. 在 ABC 中，t AB = AC，/ 1 = / 2，AD = AD， ABD ACD(SAS). BD = DC，/ ADB =/ ADC = 90.： AD丄 BC. 在 ABC 中，t AD 丄 BC，：/ ADB =/ ADC = 90./ AB= AC,： / B = Z C .又 AD = ADRt ADB 也 Rt ADC(AAS)./ 1 = / 2, BD = CD . 在 ABC 中，T AB = AC, AD = AD, BD = CD , ABD ACD(SSS) / 1 = / 2,/ ADB = / ADC = 90,. AD 丄 BC.推论1的作用：证明角相等、线段相等或垂直91 12推论2:等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60 .(1) 用符号语言表示为：如图1 -4所示，在厶 ABC 中，T AB= BC = AC，/ A=/ B =/ C = 60.(2) 推论2的证明：/ AB= AC， / B = / C ./ AB= BC，/ A =/ C . / A=/ B=/ C.又/ A+ / B+ / C= 180。，即卩 3/ A= 180 , / A=/ B=/ C= 60.知识点3等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边).用符号语言表示为：如图 1-6所示，在 ABC中， / B=/ C,： AB= AC判定定理的证明：如图 1-6所示.圈 1 -(!过 A 作 AD 丄 BC 于 D，则/ ADB = / ADC = 90/ B=/ C, AD = AD, ABD ACD(AAS), AB= AC.判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等.拓展 如图1-6所示，在 ABC中，# / 10(1) 如果 AD丄 BC,/ 1 = Z 2，那么 AB = AC;(2) 如果 AD丄 BC, BD = DC,那么 AB = AC;如果/ 1 -/ 2, BD = DC,那么 AB= AC.知识点4等腰三角形的判定定理的推论推论1.(1) 推论1的内容：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形.(2) 用符号语言表示为： 如图1 8所示，在 ABC中，T AB = AC, / A= 60 (或/ B = 60或/ C= 60 ),. AB = AC= BC.(3)推论1的证明：在厶 ABC 中，T AB= AC,. / B =/ C .B=/ C =18002A = 60. AB= AC = BC .(或/ B= 60,./ A = 180 2/ B= 60. AB = AC = BC .或t/ C= 60，./ A = 180 2/ C = 60. AB= AC= BC .)推论2.(1) 推论2的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形.(2) 用符号语言表示为：如图1 8所示，在 ABC中，/ A=/ B=/ C,. AB = AC= BC.(3) 推论2的证明：在厶ABC中，/ A =/ B,. BC = AC(等角对等边).又/ B =/ C,. AB = AC(等角对等边). AB= AC = BC .(4) 推论1和推论2的作用：证明一个三角形是等边三角形.拓展判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：(1) 根据等边三角形的定义，证明三条边相等；(2) 根据推论1,证明两条边相等，有一个角是60;(3) 根据推论2,证明三个角都相等.推论3.(1)推论3的内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.(2)用符号语言表示为：如图1 9所示，在Rt ABC中，/ C= 90,/ A= 30,二BC= 1 AB.2(3) 推论3的作用：证明一条线段是另一条线段的一半或2倍.知识点5反证法图1 - 9先假设命题的结论不成立，然后从假设出发，推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而否定假设，证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.拓展 反证法是一种常用的间接证明方法，用反证法的一般步骤是：(1) 假设命题不成立；(2) 从假设出发推导出矛盾；(3) 否定假设，从而肯定命题的结论.规律方法小结1转化思想：在等腰三角形的性质定理和判定定理的证明过程中，都是通过构造全等三角形，转化为全等得以证明的.2类比思想：采用类比思想，把等腰三角形的性质和判定对照着学习.3. 用反证法进行证明时，注意推理的规范性和逻辑的严密性，不能忽略任何一种可能的情况.探究交流ffl 1 - 2想一想：还有其他方法证明等腰三角形的性质定理吗？解析 有，作等腰三角形 ABC的顶角平分线 AD，如图1 2 所示.AB AC(已 知),/12(角平分线定义),AD AD(公共边), ABD ACD(SAS)./ B=/ C(全等三角形的对应角相等)课堂检测221、如图 1 10 所示，在 ABC 中，AB = AC, AD = AC, AE = AB .求证 BD = CE.ffl 1 - to334 / 102、如图1 12所示，已知点 D , E在厶ABC的边BC上，AB = AC, AD = AE .求证BD = CE .A# / 103、如图1 13所示，已知/ CAE是厶ABC的一个外角，/ 1 = Z 2, AD / BC, 求证 ABC是等腰三角形.4、下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后，回答问题.学习等腰三角形的有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：已知等腰三角形ABC的/A等于30 ,求其余两角.同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30和120。”王华同学说：“其余两角是75和75.”还有一些同学也提出了不同的看法假如你也在课堂上，你的意见如何？为什么？5、已知等边三角形 ABC和点P,设点P到厶ABC三边AB, AC, BC的距离分别是h1, h2, h3,A ABC 的高为h，若点P在边BC上，如图1 17(1)所示，此时h3= 0,可得结论：h1+h2+h3 = h.请直接应用上述信息解决下列问题：点P在厶ABC内，如图1 17(2)所示.点P在厶ABC外，如图1 17(3)所示，这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，h1, h2, h3与h之间又有怎样的关系？请写出你的猜想，不需证明.ffi 1 - 17体验中考1已知等腰三角形 ABC的周长为10.若设腰长为x，则x的取值范围是 2、如图 1 - 20 所示，在 ABC 和厶 DEF 中，AB = DE , BE= CF，/ B=Z 1 .求证 AC= DF （要求：写出证明过程中的重要依据 ）.2直角三角形概览图广勾股定理：a2+b2= c2 （a, b为直角边长，c为斜边长）勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这直角三角形 Y个三角形是直角三角形互逆命题与互逆定理直角三角形全等的判定：斜边、直角边定理（HL）知识点1勾股定理及其逆定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即c2= a2+b2（c为斜边长）.V勾股定理的作用.（1）已知直角三角形的两边求第三边.已知直角三角形的一条边，求另外两条边的数量关系.（3）用于证明平方关系的问题.（4）利用勾股定理作出长为的线段.勾股定理的各种表达形式.在 RtA ABC 中，/ C = 90,/ A,/ B,Z C 的对边长分别为 a, b, c,贝 U a2 = c2 b2,b2= c2 a2, c2 = a2+b2,c=a2b2 , a=、c2b2,b=.c2a2 .勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角 三角形.勾股定理的逆定理的作用：判定某一三角形是否是直角三角形.勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理. 直角三角形的判定.(1) 首先确定最大边(如c).(2) 验证c2与a2+b2是否具有相等关系.若c2 = a2+b2，则 ABC是直角三角形；若c2工a2+b2，则 ABC不是直角三角形.勾股数.(1) 能够成为直角三角形三边长的三个正整数.称为勾股数或勾股弦数.(2) 勾股数必须是正整数.如 3, 4, 5; 5, 12, 13等.拓展 应用勾股定理时，必须是在同一直角三角形中；应用勾股定理的逆定理判定一个三 角形是直角三角形时，一定是最长边所对的角是直角，其他两边所对的角是锐角.知识点2互逆命题与互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.拓展 每个命题都有逆命题.原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题. 原命题和