制陶材料优化设计模型摘要硅酸盐陶瓷材料的优良性能使其在国防领域发挥了不可或缺的作用。因此，研究使陶瓷材料强度最大的工艺条件具有重要的实际意义。本文致力于建立给定的个工艺条件对该材料强度的作用关系，及改进现有的试验和数据处理方法。首先，我们从回归分析和人工神经网络两个角度，分别建立了线性回归、非标准线性回归、神经网络三种模型。其中神经网络模型的求解过程中，我们经过泛化分析得出一个使神经网络最为成功的误差限，以进行模型求解。通过三种模型的求解和误差分析，发现目标函数的非线性性质，并证明了神经网络模型为最优模型。然后我们利用神经网络模型对所有可能的工艺条件进行强度预测，从中筛选出最大强度为1209.9，并获得相应的最优工艺等级条件为2112221最后，我们针对现有试验方法数据难于处理且数据的信息不够全面等缺点，提出用正交试验方法来改进原有的试验方案，并且给出了正交试验方法的简要介绍和优点阐述。关键字：多元回归分析，人工神经网络，拟合度，统计误差分析一、 问题的重述 背景知识硅酸盐（Si3N4）制陶材料是一种强度高、耐磨、抗氧化和耐高温的材料，它广泛应用于高温结构的材料中，如切割工具、齿轮、内燃机部件及航空、航天飞行器的有关部件等。而影响这种材料的强度的因素有七种，具体指标如下：A: 加热方案A1=两步，A2=一步（其中“两步”包括“一步”上的预烧结阶段）.B: 四种烧结添加剂CaO,Y2O3,MgO和Al2O3的总量B1=14摩尔%，B2=16摩尔%，B3=18摩尔%C: CaO的含量C1=0.0摩尔%，C2=1.0摩尔%，C3=2.0摩尔%D: Y2O3的摩尔%与MgO的摩尔的比率D1=1:1, D2=1:2, D3=1:6E：Y2O3的摩尔%与Al2O3的摩尔%的比率E1=2:1, E2=1:1, E3=1:4F: 烧结温度F1=1800oC, F2=1850oC, F3=1900oCG: 烧结时间G1=1h, G2=2h, G3=3h 问题的提出为了寻找使得该种材料的强度达到最高的工艺条件，特此安排了如下试验方案，测量数据见附录表A。 一、 根据表A 的测量数据，试建立合理的数学模型，并对试验结果进行分析；二、 寻找使得强度最大的最优工艺条件；三、 对你所建立的模型进行误差分析并做出评价；四、 你能否提出一种更合理的试验设计计划及试验结果的分析方法？五、 就你的研究对有关部门试写一份申报科技进步奖的报告。二、 符号说明及基本假设 基本假设1. 影响强度的7个因素是确定性变量，且彼此独立，不考虑交互作用对强度的影响2. 每个因素只可以在给定的几个级别中取值3. 强度是随机变量 符号说明7个制陶工艺条件第个制陶工艺条件变量（=1,2,3,7）制陶工艺条件变量材料的强度向量从输入层第个神经元到隐层第个神经元的权值从隐层第个神经元到输出层的权值三、 问题的分析由于硅酸盐制陶材料在工业特别是国防领域中的重要应用，研究其性能的提升方法和改进研究手段这两个问题已经被提上日程。我们已知影响硅酸盐制陶材料强度的七个因素和其工艺级别参数（见表1），并且已经知道一组不完备的试验数据。我们的任务就是，通过研究现有试验数据，了解七个因素对强度的作用关系（即目标函数），并以此为据预测最优工艺条件。同时，我们还要对问题中给出的试验方法及我们的数据处理方法进行误差分析，寻求更优的试验方法。表1 陶瓷材料强度影响因素及其工艺级别参数表因素编码实际含义单位水平123A加热方案步骤21B烧结添加剂总量CaO,Y2O3,MgO Al2O3摩尔%141618CCaO的含量摩尔%0.01.02.0DY2O3与MgO摩尔%比率11:11:21:6EY2O3与Al2O3摩尔%比率12:11:11:4F烧结温度度180018501900G烧结时间小时123为了完成这些任务，我们将按照下面三个步骤来解决问题：第一步，对试验数据进行分析处理，建立强度与工艺条件的关系模型。这是一个多因素单指标的问题，其中多因素为等级非随机量，而指标为测量随机变量，此类问题适宜用回归分析的方法进行求解。然而，从工程实际出发，这7个因素与强度之间的关系应该不是简单的线性关系。所以，为了使得模型更加精确和贴近实际，可以从线性回归入手，考虑非线性回归来进行分析。鉴于神经网络在数据拟和方面的精确度比较高，我们又引进人工神经网络模型，进一步研究目标函数的特性，并与回归模型进行比较，力求得到更为准确的模型。第二步：寻求最优工艺条件。由第一步已经可以得出强度受7个因素影响的函数关系式。由于工艺条件已经给定且总量不大，穷举所有可能的工艺条件组合，我们就可以依据关系式计算得到强度值的集合体。对定义在工艺条件总体上的强度集合体进行分析，可以验证各因素对强度的作用关系，并且得到最优工艺条件。第三步：试验设计。包含试验方法的设计和相应的数据分析方法设计。对于多因素单指标分析问题，由于实际中不可能对所有可能的工艺参数组合全部进行试验，我们只能分析部分试验的数据结果来寻求内在规律。因此，试验设计的目标有两个：一是尽量减少试验次数；二是提高试验的有效性，即试验数据包含的信息能够较全面地反映规律和其中的不确定因素。所以我们采用正交试验设计方法，可以使试验安排的合理性大大提高，同时简化试验数据分析方法。四、 模型的建立为了分析试验数据，找到建立陶瓷材料强度与工艺条件的关系，我们首先定义工艺条件变量为其中，表示第个工艺参数的指标值，由基本假设可知，的取值范围受到工艺条件的限制，即，这里=1,2,3,7。用表示陶瓷材料的强度，则受工艺条件影响的关系可以表示为： (1) 即 (1-1)由分析可知，均为可精确测量的非随机变量，而是可观测的随机变量，我们可以采用回归分析的方法和神经网络分别求解函数的具体形式。 1. 回归模型l 多元线性回归模型为了简化处理，我们先假设陶瓷材料强度与工艺条件变量服从线性关系，即为线性函数。则随机变量与非随机变量之间的多元线性关系用数学语言描述如下： (2) 其中都是未知参数。设是的个样本，将它们代入多元线性回归模型，得到 (3)其中假设相互独立且，由（3）式可知亦相互独立，且有 (4) (5)则有对（3）式求数学期望即 为关于的线性回归方程。利用经典的多元线性回归分析方法，可以对方程中的未知参数进行求解。l 多元非线性回归模型考虑到工程实际，这七个影响因素的类别、指标值的数量级不完全相同且其中还存在非量化因素如参数条件，简单的线性回归分析的误差可能是无法接受的，所以我们对线性回归模型进行简单的改进，给出一种非线性回归模型非标准线性回归模型。我们定义非线性函数 (6)其中为未知参数，=1,2,3,7可知由唯一确定，可以作为第个因素的量化指标，因此强度与各个条件工艺参数（=1,2,3,7）之间的关系，就可以转化为强度与非线性函数的关系。假设强度与为线性相关，则强度与工艺条件之间的非线性关系可以表示为 (7) 其中都是未知参数。 将（）式代入（）式可得 (8)整理系数可以得到 (9) 其中 可以采用线性回归分析方法求解未知参数。2. 人工神经网络模型 工程上，强度与工艺条件更接近于非线性关系，考虑到回归方法在处理非线性问题上繁琐性和精度差等缺陷，而人工神经网络模拟生物大脑的结构和功能而建立起来的人工智能识别方法，有大量神经元广泛互联而成的复杂网络结构，神经元之间的相互作用通过连接权值来体现。它建立起的数学模型能更精确的逼近非线性输入与输出之间的映射，消除了回归法处理非线性问题时的缺点。同时它具有很强的容错性、学习性、自适应性，特别适用于解决因果关系复杂的非确定性推理问题，我们又引入了人工神经网络模型。采用误差反向传播方法（）算法建立模型。以工艺条件的7个因素作为输入，构建7节点的输入层；以强度为输出，构建单节点的输出层；中间层选择15节点，搭建一个的三层神经网络，其中门限值选择为零。则网络连接形式如图一所示图一 神经网络连接图其中：1. 输入层：该层的输入为整个网络的输入，所以在此用表示输入层传递函数设置为，则输出仍为2. 隐层：设第个神经元输入为，输出为 3. 输出层：该层只有一个神经元，其输出为整个网络的输出因此设其输入为，其输出为4. 表示从输入层第个神经元到隐层第个神经元的权值表示从隐层第个神经元到输出层的权值 则该（）神经网络数学模型为：其中 其中 这里，隐层和输出层传递函数选用函数，即图2为该函数关系图图2 传递函数图用算法对网络进行训练，在多次重复使用试验数据之后，可以使网络的输出与期望输出非常近似，因此我们就认为这个网络已经体现了输入和输出之间的函数关系，可以用来解释强度和工艺条件作用函数并且预测未试验的工艺条件对应的强度值。五、 模型的求解及误差分析鉴于Matlab科学计算方面的功能非常强大，具有多种专用工具包，计算方便且精度较高。我们选择用Matlab来进行模型的求解。下面我们将给出各模型的求解结果，并给出模型误差分析。为了更好的说明问题，我们先建立模型误差的评估标准，然后分别对各模型进行求解和模型误差评估，最后给出三个模型的比对分析和最佳模型选择。1. 误差评估标准的建立对于回归模型，我们引入统计检验方法，对模型的误差和方程的显著性进行检验。l 统计量定义（1） 总体平方和，反映样本观测值总体离差的大小（2） 回归平方和，反映由模型中解释变量所解释的那部分离差的大小（3） 残差平方和，反映样本观测值与估计值偏离的大小，也是模型中解释变量未解释的那部分离差的大小。可以得到显然，对于一个拟合得好的模型，总体平方和与回归平方和应该比较接近。l 评价规则（1） 误差分析设为样本个数，为因素变量的个数衡量指标为其中评价规则：越趋近于，表明模型的误差越小，即拟合程度越高。 （2） 方程显著性检验方程的显著性检验，旨在对模型中自变量与因变量之间关系在总体是否显著成立作出推断。首先，提出：方程中各参数均为，即模型描述的自变量与因变量关系不成立。其次，构造一个统计量该统计量服从自由度为的分布，即。最后，给定一个显著性水平，如果则在水平下拒绝原假设，即模型所描述的关系成立。否则，接收原假设，模