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最新高考数学复习资料1.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1l2,l2l3,l3l4,则下列结论一定正确的是()Al1l4Bl1l4Cl1与l4既不垂直也不平行Dl1与l4的位置关系不确定答案D解析由l1l2,l2l3可知l1与l3的位置不确定,若l1l3,则结合l3l4,得l1l4,所以排除选项B、C,若l1l3,则结合l3l4,知l1与l4可能不垂直,所以排除选项A.故选D.2如下图,三棱锥PABC中,PC平面ABC,PC3,ACB.D,E分别为线段AB,BC上的点,且CDDE,CE2EB2.(1)证明:DE平面PCD;(2)求二面角APDC的余弦值解(1)证明:由PC平面ABC,DE平面ABC,故PCDE.由CE2,CDDE,得CDE为等腰直角三角形,故CDDE.由PCCDC,DE垂直于平面PCD内两条相交直线,故DE平面PCD.(2)由(1)知,CDE为等腰直角三角形,DCE.如下图,过D作DF垂直CE于F,易知DFFCFE1,又已知EB1,故FB2.由ACB得DFAC,故ACDF.以C为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),P(0,0,3),A,E(0,2,0),D(1,1,0),(1,1,0),(1,1,3),.设平面PAD的法向量为n1(x1,y1,z1),由n10,n10,得故可取n1(2,1,1)由(1)可知DE平面PCD,故平面PCD的法向量n2可取为,即n2(1,1,0),从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为cosn1,n2,故所求二面角APDC的余弦值为.3如图,在四棱锥AEFCB中,AEF为等边三角形,平面AEF平面EFCB,EFBC,BC4,EF2a,EBCFCB60,O为EF的中点(1)求证:AOBE;(2)求二面角FAEB的余弦值;(3)若BE平面AOC,求a的值解(1)证明:因为AEF是等边三角形,O为EF的中点,所以AOEF.又因为平面AEF平面EFCB,AO平面AEF,所以AO平面EFCB.所以AOBE.(2)取BC中点G,连接OG.由题设知EFCB是等腰梯形,所以OGEF.由(1)知AO平面EFCB,又OG平面EFCB,所以OAOG.如右图建立空间直角坐标系Oxyz,则E(a,0,0),A(0,0,a),B(2,(2a),0),(a,0,a),(a2,(a2),0)设平面AEB的法向量为n(x,y,z),则即令z1,则x,y1.于是n(,1,1)平面AEF的法向量为p(0,1,0)所以cosn,p.由题知二面角FAEB为钝角,所以它的余弦值为.(3)因为BE平面AOC,所以BEOC,即0.因为(a2,(a2),0),(2,(2a),0),所以2(a2)3(a2)2.由0及0a2,解得a.4如图1,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD,ABBC1,AD2,E是AD的中点,O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置,如图2.(1)证明:CD平面A1OC;(2)若平面A1BE平面BCDE,求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值解(1)证明:在图1中,因为ABBC1,AD2,E是AD的中点,BAD,所以BEAC.即在图2中,BEOA1,BEOC,从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)由已知,平面A1BE平面BCDE,又由(1)知,BEOA1,BEOC,所以A1OC为二面角A1BEC的平面角,所以A1OC.如下图,以O为原点,建立空间直角坐标系,因为A1BA1EBCED1,BCED,所以B,E,A1,C,得,(,0,0)设平面A1BC的法向量n1(x1,y1,z1),平面A1CD的法向量n2(x2,y2,z2),平面A1BC与平面A1CD夹角为,则得取n1(1,1,1);得取n2(0,1,1),从而cos|cosn1,n2|,即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.5九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图,在阳马PABCD中,侧棱PD底面ABCD,且PDCD,过棱PC的中点E,作EFPB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.(1)证明:PB平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值解(1)证明:因为PD底面ABCD,所以PDBC,由底面ABCD为长方形,有BCCD,而PDCDD,所以BC平面PCD.而DE平面PCD,所以BCDE.又因为PDCD,点E是PC的中点,所以DEPC.而PCBCC,所以DE平面PBC.而PB平面PBC,所以PBDE.又PBEF,DEEFE,所以PB平面DEF.由DE平面PBC,PB平面DEF,可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为DEB,DEF,EFB,DFB.(2)如图,在面PBC内,延长BC与FE交于点G,则DG是平面DEF与平面ABCD的交线由(1)知,PB平面DEF,所以PBDG.又因为PD底面ABCD,所以PDDG.而PDPBP,所以DG平面PBD.故BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角,设PDDC1,BC,有BD,在RtPDB中,由DFPB,得DPFFDB,则tantanDPF,解得.所以.故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时,.6.如图,四棱锥PABCD中,底面ABCD为平行四边形,DAB60,AB2,AD1,PD底面ABCD.(1)证明:PABD;(2)若PDAD,求二面角APBC的余弦值解(1)证明:因为DAB60,AB2AD2,由余弦定理得BD.从而BD2AD2AB2,BDAD.PD平面ABCD,BD平面ABCD,PDBD.又ADPDD,所以BD平面PAD,所以PABD.(2)如图,以D为坐标原点,DA,DB,DP分别为x,y,z的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1,0,0),B(0,0),C(1,0),P(0,0,1),(1,0),(0,1),(1,0,0),设平面PAB的法向量为n(x,y,z),则即因此,令y1,则n(,1,)设平面PBC的法向量为m(x0,y0,z0),则即可取m(0,1,),则cosm,n,由图知二面角APBC为钝角,故二面角APBC的余弦值为.7如图,四边形ABCD为正方形,PD平面ABCD,DPC30,AFPC于点F,FECD,交PD于点E.(1)证明:CF平面ADF;(2)求二面角DAFE的余弦值解(1)证明:PD平面ABCD,PDAD,又CDAD,PDCDD,AD平面PCD,ADPC,又AFPC,AFADA,PC平面ADF,即CF平面ADF.(2)设AB1,则RtPDC中,CD1,DPC30,PC2,PD,由(1)知CFDF,DF, CF,又FECD,DE,同理,EF,如图所示,以D为原点,建立空间直角坐标系,则A(0,0,1),E,F,P(,0,0),C(0,1,0)设m(x,y,z)是平面AEF的法向量,则又令x4,得z,故m(4,0,),由(1)知平面ADF的一个法向量为(,1,0),设二面角DAFE的平面角为,可知为锐角,cos|cosm,|,故二面角DAFE的余弦值为.8.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧面AA1C1C底面ABC,AA1A1CACBC2,ACBC,点S是AA1延长线上一点,EF是平面SBC与平面A1B1C1的交线(1)求证:EFAC1;(2)求直线A1C与平面A1ABB1所成角的正弦值解(1)证明:在三棱柱ABCA1B1C1中,平面ABC平面A1B1C1,又平面ABC平面SBCBC,平面A1B1C1平面SBCEF,EFBC.平面AA1C1C平面ABC,且ACBC,BC平面ACC1A1.又AC1平面ACC1A1,BCAC1,EFAC1.(2)取A1C1的中点D1,连CD1,AA1A1CAC2,CC1A1CA1C12,CD1A1C1.由(1)知BC平面ACC1A1.以点C为原点,CA,CB、CD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,2,0),C(0,0,0),A1(1,0,),A(2,0,0)(1,0,)设平面A1ABB1的法向量为n,则nn0,而(1,0,),(2,2,0),可求得平面A1ABB1的一个法向量为n(3,3,),|cos,n|.故直线A1C与平面A1ABB1所成角的正弦值为.
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