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10.1.3古典概型【学习目标】1.理解古典概型的概念及特点.2.掌握利用古典概型概率公式解决简单的概率计 算问题.知识梳理梳理盘材辱实威础A 知识点一随机事件的概率对随机事件发生可能性太小的度量(数值)称为事件的概率,事件A的概率用地表示.知识点二古典概型一般地,若试验E具有以下特征:(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个;(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相筐称试验E为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.知识点三古典概型的概率公式一般地,设试验E是古典概型,样本空间Q包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点 则定义事件A 的概率 P()=n尺、,火小乂幸 n a 口 J4风牛 p(a) 仇 n().思考辨析判断正误1. 古典概型中每个事件发生的可能性相同.(X )2. 古典概型有两个重要条件:样本空间中样本点总数是有限的,每次试验只出现其中的一个结果;各个样本点的出现是等可能的.(V )3. 用古典概型的概率公式可求“在线段0,5上任取一点,此点小于2”的概率.(X )4. 从甲地到乙地共n条线路,且这n条线路长短各不相同,求某人任选一条路线正好选中最短路线的概率是古典概型问题.(V )题型探究 探究重点素荐提廿y一、古典概型的判断例1下列概率模型是古典概型吗?为什么?(1)从区间1,10内任意取出一个实数,求取到实数2的概率;(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币,求正面朝上的概率;(3)从1,2,3,100这100个整数中任意取出一个整数,求取到偶数的概率.解(1)不是古典概型,因为区间1,10中有无限多个实数,取出的实数有无限多种结果,与 古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾.(2)不是古典概型,因为硬币不均匀导致“正面朝上”与“反面朝上”的概率不相等,与古 典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾.(3)是古典概型,因为在试验中所有可能出现的结果是有限的,而且每个整数被抽到的可能 性相等.反思感悟古典概型需满足两个条件(1)样本点总数有限.(2)各个样本点出现的可能性相等跟踪训练1下列问题中是古典概型的是()A. 种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率B. 掷一颗质地不均匀的骰子,求掷出1点的概率C. 在区间1,4上任取一数,求这个数大于1.5的概率D. 同时掷两颗质地均匀的骰子,求向上的点数之和是5的概率答案D解析 A,B两项中的样本点的出现不是等可能的;C项中样本点的个数是无限多个;D项 中样本点的出现是等可能的,且是有限个.故选D.二、古典概型概率的计算例2 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同号码的3个黑球,从中摸出2个球.求:(1)样本空间的样本点的总数n;(2)事件“摸出2个黑球”包含的样本点的个数;(3)摸出2个黑球的概率.解 由于4个球的大小相等,摸出每个球的可能性是均等的,所以是古典概型样本空间Q二(里 里、里 里、里 白、里 里、里 白、里 白、1 ,黑 9), (黑,黑 / (黑,白)/ (黑,黑 2),(黑,白),(黑,白),JL4JL。JL4。4。其中共有6个样本点.十仟 “土昔L|_| o AEP工新, r/EJZl 四 x /EJZ1 四 ,四 四-H- Q 八样未 占(2)事件摸出2个黑球 - (黑1 ,黑2),(黑2,黑3),(黑1,黑3),共3个样本点.(3)样本点总数n = 6,事件“摸出两个黑球”包含的样本点个数m = 3,故牛?二2,即摸出2个黑球的概率为1.反思感悟求古典概型概率的步骤(1) 确定样本空间的样本点的总数n.(2) 确定所求事件A包含的样本点的个数m.m尸二云.跟踪训练2为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中, 余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率 .,2答案2解析 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中,余下2种颜色的花种在另一花 坛的种数有:红黄一白紫、红白一黄紫、红紫一白黄、黄白一红紫、黄紫一红白、白紫一红 黄,共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有红黄一白紫、红白一黄紫、黄紫一 红白、白紫一红黄,共4种,故所求概率为P = 4 = 2.6 2三、较复杂的古典概型的概率计算例3先后抛掷两枚质地均匀的骰子.(1) 求点数之和为7的概率;(2) 求掷出两个4点的概率;(3) 求点数之和能被3整除的概率.解 如图所示,从图中容易看出样本点与所描点一一对应,共36种.第-次掷得向上的点薮(1)记“点数之和为7”为事件A,从图中可以看出,事件A包含的样本点共有6个:(6,1),(5,2) , (4,3) , (3,4) , (2,5) , (1,6).故 p(A)=3I=(2)记“掷出两个4点”为事件B,从图中可以看出,事件B包含的样本点只有1个,即(4,4).故 P(B)=1,36记“点数之和能被3整除”为事件。,则事件C包含的样本点共12个:(1,2) ,(2,1) ,(1,5),(5,1) , (2,4) , (4,2) , (3,3) , (3,6) , (6,3) , (4,5) , (5,4) , (6,6).故P(C)=$436 3反思感悟 在求概率时,若事件可以表示成有序数对的形式测可以把全体样本点用平面直 角坐标系中的点表示,即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法 求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观,更方便.跟踪训练3某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A, A2, A3和3个欧洲国家B, B2, B3中 选择2个国家去旅游.(1) 若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2) 若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A但不包括B1的概率.解(1)由题意知,从6个国家中任选2个国家,其一切可能的结果有(A , A2) , (A , A3), (A1 ,B1),(A1, B2), (A1 , B3) , (A2, A3) , (A2, B1) , (A2, B2) , (A2, B3) , (A3, B1) , (A3, B2),(A3 ,B3),(B1, B2), (B1 , B3) , (B2 , B3),共 15 个.所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有0 , A2) , (A1, A3) , (A2 , A3),共3 个,则所求事件的概率为p=%=5.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,其一切可能的结果有(A , B) , (A , B2) , (A , B3),(A B )(A B ) (A B ) (A B ) (A B ) (A B ) 共 9 个(Ao / Bi), (Ao/ Bo), (Ao/ B以,(Aq/ B1),(Aq/ Bo), (Ao/ B以,/、9 I .包括A但不包括B的事件所包含的基本事件有(A , B2) , (A , B3),共 2 个,则所求事件的概率为p = 9随堂演练基础叽固学以致薄1.下列不是古典概型的是()A. 从6名同学中,选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小B. 同时掷两颗质地均匀的骰子,点数和为7的概率C. 近三天中有一天降雨的概率D. 10个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率答案C解析A , B ,D为古典概型,因为都适合古典概型的两个特征:有限性和等可能性,而C 不满足等可能性,故不为古典概型.2. 甲、乙、丙三名同学站成一排,甲站在中间的概率是()1112A B C.= D6233答案 C解析样本点有:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个.甲站在中间的事件包括:乙甲丙、丙甲乙,共2个,所以甲站在中间的概率牛2=!633. 已知5件产品中有2件次品,其余为合格品.现从这5件产品中任取2件,恰有一件次品的概率为()A.0.4B.0.6C.0.8D.1答案 B解析 记3件合格品分别为A1, A2,43,2件次品分别为B,B,,从5件产品中任取2件,有(A 4 )(44 )(4 B )(A B )(A 4)(A B )(4 B )(4 B )(41 , 42), (41, 43), (八 1, B1), (41, B2), (42,43), (42,B1), (42,B2), (43, B1),(43,JL4JL。JLJLJL44。4JL44L。B2) , (B1 , B2),共10种可能,其中恰有一件次品有6种可能,由古典概型得所求事件概率 为 6 = 0.6.104. 用1,2,3组成无重复数字的三位数,这些数能被2整除的概率是(D.3111A- B- C.T623答案 C解析 用1,2,3组成的无重复数字的三位数共6个,分别为123,132,213,231,312,321 ,其中能 被2整除的有132,312这2个数,故能被2整除的概率为:.5.从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数,则其和为5的概率是.答案0.2解析 两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3),总的样本点有:(1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5),2(2,3) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4,5),共 10 种,所以 P 二而二02-课堂小结1. 知识清单:(1) 古典概型.(2) 古典概型的概率公式.2. 方法归纳:常用列举法(列表法、树状图)求样本点的总数.3. 常见误区:列举样本点的个数时,要按照一定顺序,做到不重、不漏课时对点练注重双.招强化落实 七基础巩固1.下列是古典概型的是()A. 任意抛掷两枚骰子,所得点数之和作为样本点B. 求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点C. 在甲、乙、丙、丁 4名志愿者中,任选一名志愿者去参加跳高项目,求甲被选中的概率D. 抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止,抛掷的次数作为样本点答案C解析A项中由于点数的和出现的可能性不相等,故A不是;B项中的样本点的个数是无 限的,故B不是;C项中满足古典概型的有限性和等可能性,故C是古典概型;D项中样 本点既不是有限个也不具有等可能性,故D不是.2.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()1123A.g B.2 C.3 D.4答案C 解析 试验的样本空间Q=(1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,3) , (2,4) , (3,4),共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相同,数字之和为奇数的有4个样本点,所以所求概率为|.3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()1111 A云 B C.D2346答案B 解析样本点的总数为6,构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的样本点的个数为2 , 所以所求
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