第九章 圆锥曲线一基础题组1. 【2017高考上海，6】设双曲线 的焦点为 ， 为该双曲线上的一点.若 ,则 .【答案】.2. 【2014上海,理3】若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_.【答案】.【解析】椭圆的右焦点为，因此，准线方程为.【考点】椭圆与抛物线的几何性质.3. 【2013上海,理9】设AB是椭圆的长轴，在C在上，且CBA.若AB4，BC，则的两个焦点之间的距离为_【答案】【解析】(如图)不妨设椭圆的标准方程为1，于是可算得C(1,1)，得b2，2c.4. 【2013上海,文18】记椭圆1围成的区域(含边界)为n(n1，2，)，当点(x，y)分别在1，2，上时，xy的最大值分别是M1，M2，则()A0 B C2 D【答案】D5. 【2011上海,理3】设m是常数，若点F(0,5)是双曲线的一个焦点，则m_.【答案】16【解析】6. 【2010上海,理3】若动点P到点F（2，0）的距离与它到直线的距离相等，则点P的轨迹方程为_；【答案】【解析】由抛物线定义知：P的轨迹为抛物线，易知焦参数，所以点P的轨迹方程为.【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之直接法，属基础概念题7. 【2010上海,理13】如图所示，直线与双曲线：的渐近线交于，两点，记，.任取双曲线上的点，若（、），则、满足的一个等式是 ；【答案】【解析】设，易知，由，得，即，代入整理得，故答案为：.【点评】本题考查双曲线的几何性质，向量的坐标运算，平面向量基本定理等知识，把向量与解几结合命题，是全国各地高考题中的主流趋势.8. 【2010上海,文13】在平面直角坐标系中，双曲线的中心在原点，它的一个焦点坐标为(，0)，e1(2,1)、e2(2，1)分别是两条渐近线的方向向量任取双曲线上的点P，若ae1be2(a、bR)，则a、b满足的一个等式是_【答案】4ab1【解析】由题意知，双曲线两条渐近线的斜率分别为，可得双曲线方程为y2，即：1.又双曲线的一个焦点坐标为(，0)，45，解得1.双曲线的方程为y21.而ae1be2(2a，a)(2b，b)(2a2b，ab)，又P在双曲线上，(ab)21.整理得4ab1. 9. (2009上海,理9)已知F1、F2是椭圆C:(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且.若PF1F2的面积为9,则b=_.【答案】3【解析】,F1PF2=90,F1PF2为直角三角形.|PF1|2+|PF2|2=(2c)2.又|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|,即(2c)2=(2a)2-4|PF1|PF2|,.4c2=4a2-49=0,4b2=49.b=3.10. (2009上海,理14)将函数(x0,6)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角(0),得到曲线C.若对于每一个旋转角,曲线C都是一个函数的图像,则的最大值为_.【答案】11. (2009上海,文9)过点A(1,0)作倾斜角为的直线,与抛物线y2=2x交于M、N两点,则|MN|=_.【答案】【解析】斜率,所以过点A(1,0)的直线方程为y=x-1.将其代入抛物线y2=2x,得x2-4x+1=0.因为判别式=16-40,所以可设其两根为x1,x2,于是x1+x2=4,x1x2=1.故12. 【2008上海,文6】若直线经过抛物线的焦点，则实数_【答案】-1【解析】直线经过抛物线的焦点则 13. 【2008上海,文12】设是椭圆上的点若是椭圆的两个焦点，则等于（ ）A4B5C8D10 【答案】D【解析】 由椭圆的第一定义知14. 【2007上海,理8】已知双曲线，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为15. 【2006上海,理7】已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 【答案】【解析】已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（2，0），且长轴长是短轴长的2倍，即， ，该椭圆的标准方程是16. 【2006上海,文7】已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是_.【答案】【解析】已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,则焦点在x轴上，且a=3，焦距与虚轴长之比为，即，解得，则双曲线的标准方程是.17. 【2005上海,理5】若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是_.【答案】【解析】由双曲线的渐近线方程为，知，它的一个焦点是，知，因此双曲线的方程是18. 【2005上海,理15】过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）A有且仅有一条 B有且仅有两条 C有无穷多条 D不存在【答案】B19. 【2005上海,文7】若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是，则椭圆的标准方程是_.【答案】【解析】由题意可知，又，解得，所求椭圆的标准方程为.【解后反思】在求椭圆方程和研究性质时，要深刻理解确定椭圆的形状及大小的主要特征数，如a、b、c、p、e的几何意义及它们的关系式，熟练运用这些公式解决有关问题.二能力题组20. 【2016高考上海理数】（本题满分14）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.有一块正方形菜地,所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到点或河边运走.于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为（1,0），如图.（1）求菜地内的分界线的方程;（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为.设是上纵坐标为1的点，请计算以为一边、另有一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值.【答案】（1）（）；（2）矩形面积为，五边形面积为，五边形面积更接近于面积的“经验值”【解析】试题解析：（1）因为上的点到直线与到点的距离相等，所以是以为焦点、以为准线的抛物线在正方形内的部分，其方程为（）（2）依题意，点的坐标为所求的矩形面积为，而所求的五边形面积为矩形面积与“经验值”之差的绝对值为，而五边形面积与“经验值”之差的绝对值为，所以五边形面积更接近于面积的“经验值”【考点】抛物线的定义及其标准方程、面积计算【名师点睛】本题主要考查抛物线的实际应用，“出奇”之处在于有较浓的“几何味”，即研究几何图形的面积，解题关键在于能读懂题意.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力、数学的应用意识等.21【2016高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点.（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率. 【答案】（1）；（2）.【解析】即，从而得到，进而构建关于的方程求解即可试题解析：（1）设由题意，因为是等边三角形，所以，即，解得故双曲线的渐近线方程为（2）由已知，设，直线显然由，得因为与双曲线交于两点，所以，且设的中点为由即，知，故而，所以，得，故的斜率为【考点】双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、平面向量的数量积【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目时，利用的关系，确定双曲线（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与双曲线（圆锥曲线）方程得到方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.22. 【2016高考上海文数】已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为 .【答案】【解析】因为的方程为，所以的一条渐近线的斜率，所以的一条渐近线的斜率，因为双曲线、的顶点重合，即焦点都在轴上，设的方程为，所以，所以的方程为.【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.【名师点睛】在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线； (2)求已知渐近线的双曲线的方程； (3)渐近线的斜率与离心率的关系，如k.23.【2015高考上海文数】（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，设的面积为.（1）设，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设，求的值；（3）设与的斜率之积为，求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变.【答案】（1）详见解析；（2）或；（3）.【解析】（1）直线的方程为，由点到直线的距离公式得点到的距离为，因为，所以.（2）由，消去解得，由（1）得由题意知，解得或.（3）设，则，设，由，的，同理，由（1）知， ，整理得，由题意知与无关，则，解得.所以.【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.【名师点睛】直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型当直线(斜率为k)与圆锥曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)时，则|AB|x1x2| |y1y2|，而|x1x2|，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解24. 【2015高考上海理数】抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则 【答案】【考点定位】抛物线定义【名师点睛】标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程. 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性25.【2015高考上海理数】已