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精选优质文档-倾情为你奉上第二章 角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线 如图,P是MON的平分线上一点,过点P作PAOM于点A,PBON于点B。 结论:PB=PA。模型分析 利用角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等,构造模型,为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件,进而可以快速找到解题的突破口。模型实例(1)如图,在ABC中,C=90,AD平分CAB,BC=6,BD=4,那么点D到直线AB的距离是 ;(2)如图,1=2,+3=4。 求证:AP平分BAC。热搜精练1如图,在四边形ABCD中,BCAB,AD=DC,BD平分ABC。 求证:BAD+BCD=180。2如图,ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点 P,若BPC=40,则CAP= 。模型2 截取构造对称全等 如图,P是MON的平分线上一点,点A是射线OM上任意一点,在ON上截取OB=OA,连接PB。 结论:OPBOPA。模型分析 利用角平分线图形的对称性,在角的两边构造对称全等三角形,可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移,这是经常使用的一种解题技巧。模型实例(1)如图所示,在ABC中,AD是ABC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC与AB+AC的大小,并说明理由;(2)如图所示, AD是ABC的内角平分线,其他条件不变,试比较 PC-PB与AC-AB的大小,并说明理由。热搜精练1已知,在ABC中,A=2B,CD是ACB的平分线,AC=16,AD=8。 求线段BC的长。2已知,在ABC中,AB=AC,A=108,BD平分ABC。 求证:BC=AB+CD。3如图所示,在ABC中,A=100,A=40,BD是ABC的平分线,延长BD至E,DE=AD。求证:BC=AB+CE。模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形 如图,P是MO的平分线上一点,APOP于P点,延长AP于点B。 结论:AOB是等腰三角形。模型分析 构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”,也可以得到两个全等的直角三角形,进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。 1.如图,已知等腰直角三角形ABC中,A=90,AB=AC,BD平分ABC,CEBD,垂足为E。求证:BD=2CE。2如图,在ABC中,BE是角平分线,ADBE,垂足为D。 求证:2=1+C。3如图,在ABC中,ABC=3C,AD是BAC的平分线,BEAD于点E。 求证:BE=(AC-AB)。4.(1)如图,BD、CE分别是ABC的外角平分,过点A作ADBD、AECE,垂足分别为D、E,连接DE。求证:(1)AB+AC+BC=MN(2)如图,BD、CE分别是ABC的内角平分,其它条件不变。上述结论是否成立? 成立请说明理由,若不成立,那MN与ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并进行证明。 (3)如图,BD是ABC的内角平分,CE是ABC的外角平分,其它条件不变。MN与ABC三边又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,并进行证明。 模型4 角平分线+平行线如图,P是MO的平分线上一点,过点P作PQON,交OM于点Q。 结论:POQ是等腰三角形。模型分析 有角平分线时,常过角平分线上一点作角的一边的平行线,构造等腰三角形,为证明结论提供更多的条件,体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。模型实例 解答下列问题:(1)如图所示,在ABC中,EFBC,点D在EF上,BD、CD分别平分ABC、ACB,写出线段EF与BE、CF有什么数量关系;(2)如图所示,BD平分ABC、CD平分ACG,DEBC交AB于点E,交AC于点F,线段EF与BE、CF有什么数量关系?并说明理由。(3)如图所示,BD、CD分别为外角CBM、BCN的平分线,DEBC交AB延长线于点E,交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么数量关系? 热搜精练1 如图,在ABC中,ABC、ACB 的平分线交于点E,过点E作EFBC,交AB于点M,交AC于点N。若BM+CN=9,则线段MN的长为 。2如图,在ABC中,AD平分BAC,点E、F分别在BD、AD上,EFAB, 且DE=CD。求证:EF=AC。3 如图,梯形ABCD中,ADBC,点E在CD上,且AE平分BAD,BE平分ABC。求证:AD=AB-BC。专心-专注-专业
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