20xx艺体生文化课-百日突围系列专题四 指数函数与对数函数幂的运算、对数运算【背一背基础知识】1.根式：一般地，如果，那么就叫做的次方根，其中，且.式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数.其中；2.分数指数幂：我们规定正数的正分数指数幂的意义是：；我们规定正数的负分数指数幂的意义是：；其中的正分数指数幂为，的负分数指数幂没有意义；3.正数的有理数幂的运算法则如下：（1）；（2）；（3）；4.对数：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数；其中把以为底的对数叫做常用对数，并把记作，把以（无理数为底的底数叫做自然对数，并把记作；其中指数与对数的互化为：.5.对数恒等式：（1）；（2）；（3）.5.对数的运算性质：如果且，那么：（1）；（2）；（3）.6.对数的换底公式：.推论：（1）；（2）.【讲一讲基本技能】必备技能：1.指数幂的化简与求值(1)化简原则：化根式为分数指数幂；化负指数幂为正指数幂；化小数为分数；注意运算的先后顺序提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算(2)结果要求：若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂2.对数的化简与求值(1)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此，经常会用到换底公式及其推论；在对含有字母的对数式化简时，必须保证恒等变形(2) (a0且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意灵活运用(3)利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化(4)有限制条件的对数化简、求值问题，往往要化简已知和所求，利用“代入法”.3.形如型的方程、不等式或函数问题，利用换元法，将其转化为型的一元二次方程、不等式或二次函数问题，利用相关知识或方法求解；求解对数方程时，直接利用对数式与指数式的互化，利用指数相关知识求解；对于同底数的对数的运算时，一般利用底数的运算性质即可；对于不同底数的运算时，一般利用换底公式及其推论来解决.1. 典型例题例1 .分析：本题考查指数数的运算性质，在处理指数的加减法运算时，首先利用指数的相关性质将各指数的系数化为一致的，然后根据指数的运算性质进行求解.【答案】例2计算：= .分析：本题考查对数数的运算性质，在处理同底数对数的加减法运算时，首先利用对数的相关性质将各对数的系数化为一致的，然后根据对数的运算性质进行求解.【答案】【解析】因为.例3计算： ， 【答案】【解析】；.【考点定位】对数运算【名师点睛】本题主要考查对数的运算.主要考查学生利用对数的基本运算法则，正确计算的对数值.本题属于容易题，重点考查学生正确运算的能力.例4设，且，则（ ） A. B. C. D.分析：本题是考查对数换底公式推论的应用，对于此种问题的考查，首先应该从指数式中求出和的表达式，借助换底公式的推论，将代数式化为同底数的对数式的加减运算，最后利用对数式与指数式的互化求出相应参数的值.【答案】A【解析】，因此，所以有，由于且，故选A.【练一练趁热打铁】1. （） A. B. C. D.【答案】D 2. .【答案】【解析】原式.3. lg0.01log216_.【答案】2【解析】lg0.01log216242【考点定位】本题考查对数的概念、对数运算的基础知识，考查基本运算能力.【名师点睛】对数的运算通常与指数运算相对应，即“若abN，则logaNb”，因此，要求logaN的值，只需看a的多少次方等于N即可，由此可得结论.当然本题中还要注意的是：两个对数的底数是不相同的，对数符号的写法也有差异，要细心观察，避免过失性失误.属于简单题.4. .【答案】【解析】原式.指数函数与对数函数【背一背基础知识】1.指数函数：函数（且）称为指数函数，其中底数是不等于的常数，指数为自变量；2.指数函数的基本性质：图象 定义域值域定点图象恒过定点奇偶性非奇非偶函数单调性在上是单调递增函数在上是单调递减函数3.对数函数：一般地，我们把函数（且）称为对数函数，其中为自变量，函数的定义域为，叫做对数函数的底数；特别地，我们称以为底数的对数函数为常用对数函数；称以无理数为底数的对数函数叫做自然对数函数.4.对数函数的基本性质：图象 定义域值域定点图象恒过定点奇偶性非奇非偶函数单调性在上是单调递增函数在上是单调递减函数5.反函数：我们将函数（且）与函数（且）称为互为反函数，它们的图象关于直线对称.【讲一讲基本技能】必备技能：对于指数函数与对数函数基本性质的考查，一般利用定义法中的相关步骤验证即可；对于指数函数与对数函数单调性的考查，一般要根据底数的取值范围才能确定其单调性，所以有些时候要对底数的取值范围进行分类讨论，进而确定相应函数的单调性；在比较大小时，若能化成底数相同的指数式或对数式，只需利用相应的指数函数或对数函数的单调性即可进行比较，若指数式与对数式同时存在时，一般通过利用中间值与结合不等式的传递性得出所考察的数的大小关系；在解有关的指数或对数不等式时，一般将不等式两边化成同底数的指数式或对数式，利用相应函数的单调性得出相应的不等式，并注意相应结构本身的限制条件. 2.典型例题例1若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为( )（A）( ) (B)() （C） （D）【答案】【考点定位】1.函数的奇偶性；2.指数运算.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性及指数函数的性质，解答本题的关键，是利用函数的奇偶性，确定得到的取值，并进一步利用指数函数的单调性，求得的取值范围.本题属于小综合题，在考查函数的奇偶性、指数函数的性质等基础知识的同时，较好地考查了考生的运算能力.例2已知定义在R上的函数为偶函数,记,则,的大小关系为（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】B【解析】由 为偶函数得,所以, ,所以,故选B.【考点定位】本题主要考查函数奇偶性及对数运算.【名师点睛】函数是高考中的重点与热点,客观题中也会出现较难的题,解决此类问题要充分利用相关结论.函数的图像关于直线 对称,本题中求m的值,用到了这一结论,本题中用到的另一个结论是对数恒等式:.例3不等式的解集是_.分析：本题是考查对数不等式的解法，对于此类问题的求解，只需将不等式的两边化成同底数的对数式，利用相应的对数函数的单调性得出两个真数的大小，同时还需注意对真数的限制条件，进而求解相应的不等式.【答案】【解析】不等式即，由于对数函数在上是增函数，故有，由于对数函数的真数为正数，则有，即，解此不等式得，故不等式的解集为.例4设函数，则是（ ）A.奇函数，且在上是增函数 B. 奇函数，且在上是减函数C. 偶函数，且在上是增函数 D. 偶函数，且在上是减函数【答案】A.【考点定位】函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了以对数函数为背景的单调性与奇偶性，属于中档题，首先根据函数奇偶性的判定可知其为奇函数，判定时需首先考虑定义域关于原点对称是函数为奇函数的必要条件，再结合复合函数单调性的判断，即可求解.【练一练趁热打铁】1. 某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：)满足函数关系(为自然对数的底数，为常数).若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是( )(A)16小时 (B)20小时 (C)24小时 (D)21小时【答案】C【解析】由题意，得，于是当x33时，ye33kb(e11k)3eb19224(小时)【考点定位】本题考查指数函数的概念及其性质，考查函数模型在现实生活中的应用，考查整体思想，考查学生应用函数思想解决实际问题的能力.【名师点睛】指数函数是现实生活中最常容易遇到的一种函数模型，如人口增长率、银行储蓄等等，与人们生活密切相关.本题已经建立好了函数模型，只需要考生将已知的两组数据代入，即可求出其中的待定常数.但本题需要注意的是：并不需要得到k和b的准确值，而只需求出eb和e11k，然后整体代入后面的算式，即可得到结论，否则将增加运算量.属于中档题.2. 若，则（ ） A. B. C. D.【答案】A 3. 设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的 （ ）（A） 充要条件 （B）充分不必要条件（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则，从而有，故为充分条件. 若不一定有，比如.，从而不成立.故选B.【考点定位】命题与逻辑.【名师点睛】充分性必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考.幂函数【背一背基础知识】1.幂函数：把形如的函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数.2.幂函数在第一象限内的图象与基本性质：的范围在第一象限的图象特征下凹，图象在第一象限无限接近于轴和轴上凸下凹单调性在上单调递减在上单调递增在上单调递增定点和和【讲一讲基本技能】1.必备技能：幂函数，其中为常数，其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准在上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点2.典型例题例1已知幂函数的图象过点，则的值为 .分析：本题是考查幂函数的解析式的相关知识，在处理此类问题时，可将幂函数的解析式设为，通过题中条件的转化，借助指数运算求出的值，最后利用幂函数的解析式求解出相应的问题.【答案】例2已知幂函数的图像过点，若，则实数的值为（ ）A B C D分析：本题首先利用点求得函数的解析式，再利用，可求得的值.【答案】D【解析】由函数过点可得，所以，所以，故，选答案D.【练一练趁热打铁】1.【若(2m1)