博途教育学科教师辅导讲义(一）学员姓名: 年 级：高 一 日期：辅导科目：数 学 学科教师：刘云丰 时间：课 题第十讲：函数与方程授课日期 教学目标1、能够结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2、理解函数的零点与方程的联系.教学内容函数与方程教学重点与难点教学重点：理解函数的零点与方程根的联系，使学生遇到一元二次方程根的问题时能顺利联想函数的思想和方法；教学难点：函数零点存在的条件。教学过程来源:Zxxk.Com一、函数的零点探究一元二次方程与相应二次函数的关系。出示表格，填写表格，并分析填出的表格，从二次方程的根和二次函数的图像与x轴的交点的坐标，探究一元二次方程与相应二次函数的关系。一元二次方程方程的根二次函数图像与X轴的交点x2-2x-3=0x1=-1，x2=3y=x2-2x-3（-1，0），（3，0）x2-2x+1=0x1= x2=1y=x2-2x+1（1，0）x2-2x+3=0无实数根y=x2-2x+3无交点xy01321121234. （图1-1）函数y=x2-2x-3的图像yx012112.（图1-2）函数y=x2-2x+1的图像.xy0132112543 （图1-3）函数y=x2-2x+3的图像归纳： 1.如果一元二次方程没有实数根，相应的二次函数图像与x轴没有交点； 2.如果一元二次方程有实数根，相应的二次函数图像与x轴有交点。反之，二次函数图像与x轴没有交点，相应的一元二次方程没有实数根；二次函数图像与x轴有交点，则交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根。1.函数的零点概念： 对于函数y=f(x)(xD),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点。（1） 意义 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图像与x轴有交点 函数y=f(x)有零点（2） 求函数的零点 代数法：求方程f(x)=0的实数根 几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。2、 函数零点的存在性（1） 二次函数的零点=b2-4acax2+bx+c=0的实数根y=ax2+bx+c的零点数0有两个不等的实数根x1、x2两个零点x1、 x2=0有两个相等的实数根x1= x2一个零点x1（或x2）0没有实数根没有零点（图2-1）方程ax2+bx+c=0的判别式0时，函数y= ax2 +bx+c(a0)的图像 xyx1x20（图2-2）方程ax2+bx+c=0的判别式=0时，函数y= ax2+bx+c(a0)的图像xy0x1 （图2-3）方程ax2+bx+c=0的判别式0时，函数y= ax2 +bx+c(a0)的图像xy0 （2） 探究发现 问题1：二次函数y=x2-2x-3在区间-2，1上有零点。试计算f(-2)与f(1)的乘积有什么特点？ 解：f(-2)=(-2)2-2*(-2)-3=4+4-3=5 f(1)=12 -2*1-3=1-2-3=-4 f(2)* f(1)=-4*5=-200 问题2：在区间2,4呢？ 解：f(2)=(2)2-2*2-3=-3 f(4)=42-2*4-3=5 f(4)*f(2)=(-3)* 5=-150 归纳：f(2)* f(1)0，函数y=x2-2x-3在-2，1内有零点x=-1；f(2)* f(4)0，函数y=x2-2x-3在2，4内有零点x=3，它们分别是方程y=x2-2x-3的两个根。 结论：如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。 图像在上的图像是连续不断的 函数在区间内至少有一个零点2、 习题演练利用函数图像判断下列二次函数有几个零点 y=x23x5 ， y=2x(x2)+3解：令f(x)=x23x5, 做出函数f(x)的图像，如下xy01321486224.（图4-1） 它与x轴有两个交点，所以方程x23x50有两个不相等的实数根，则函数y=x23x5有两个零点。y=2x(x2)+3可化为 做出函数f(x)的图像,如下：xy0132112543. （图4-2） 它与x轴没有交点，所以方程2x(x2)3无实数根，则函数y=2x(x2)+3没有零点。二、 用二分法求方程的近似解1. 创设情境，导入课题 支持人李咏说道：猜一猜这件商品的价格。观众甲：2000！李咏：高了！观众甲：1000！李咏：低了！观众甲：1700！李咏：高了！观众甲：1400！李咏：低了！观众甲：1500！李咏：低了！观众甲：1550！李咏：低了！观众甲：1580！李咏：高了！观众甲：1570！李咏：低了！观众甲：1578！李咏：低了！观众甲：1579！李咏：这件商品归你了。下一件 （手拿一款手机）如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？ 1.先初步估算一个价格，如果高了再每隔十元降低报价。 2.这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价。如果低了，每50元上涨；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价 3.先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价 在现实生活中我们也常常利用这种方法。譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，（相距大约3500米）电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测还是按照生3那样来检测呢？ 按3那样来检测。 3的回答，我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件，区间逼近法）。2. 讲解新课 那我们能否采用这种逐步逼近的方法来解一些数学问题呢？ 能否求解方程式 方程的解可用求根公式来解。 不解方程，当然也不许用求根公式，如何求方程的一个正的近似解？（精确到0.1） （探究离不开问题，问题教学有赖于教师对问题情景的创设，以及问题的呈现方式）1、 学生先自行探求，并进行组织交流。（倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式，有助于发挥学生学习的主动性）师生共同探讨交流，引出借助函数f(x)= 的图象，能够缩小根所在区间，并根据f(2)0,可得出根所在区间(2,3)；引发学生思考，如何进一步有效缩小根所在的区间；共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决；用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解；引发学生思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能达到所要求的精确度。2、 学生简述上述求方程近似解的过程。（通过自己的语言表达，有助于学生对概念的理解）（思考，解决。问题激励，语言激励） 因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为3、 揭示二分法的定义。指出运用二分法的前提是要先判断某根所在的区间。例题剖析例1. 根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是（ ）x-101230.3712.727.3920.09x+212345 A (-1,0) B (0,1) C (1,2) D (2,3)解析：我们可以通过什么来判断某根所在的区间的？ 有了这个依据，本题应选什么？为什么？ 现在，判断某根所在区间有哪些方法？画图或利用函数值的正负来判断。变式训练：1） 2）3）（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 44)( ) A.仅有一根 B.有一正根一负根 C.有两负根 D.无实根 三、 本课小结四、 课后练习1.若函数f(x)在区间2,2上的图象是连续不断的曲线，且函数f(x)在(2,2)内有一个零点，则f(2)f(2)的值 ()A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定解析：若函数f(x)在(2,2)内有一个零点，则该零点是变号零点，则f(2)f(2)0.2.设f(x)3xx2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是 ()A.0,1 B.1,2C.2，1 D.1,0解析：f(1)31(1)210，函数f(x)3xx2在区间1,0内存在零点.3.(2010苏北三市联考)若方程lnx2x100的解为x0，则不小于x0的小整数是.解析：令f(x)lnx2x10，则f(5)ln50，f(4)ln4204x05不小于x0的最小整数是5.4.(2009福建高考)若函数f(x)的零点与g(x)4x2x2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是