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2.8数的进制2.8.1相关概念 同学们在进行整数四则计算时,用的都是十进制即“满10进一”,对于其他进制则感到陌生。实际上,你只要留惦一下,在我们日常生活中,不仅使用十进制还使用其他许多进制呢!你信不信?我举一些例子。 两只袜子为一双,两只水桶为一对,这里使用的是二进制;十二支铅笔为一打,十二个月算一年,这里使用的是十二进制;六十秒是一分,六十分是一时,这里使用的是六十进制;二十四时为一天,这里使用的是二十四进制;100平方分米等于一平方米,100平方厘米等于一平方分米,这里使用的是一百进制;1000米等于一千米,1000克等于1千克,这里使用的是一千进制;。怎么样?实际上还可以发现更多的这样的例子。 随着科学技术的发展,数字电子计算机的使用日益普遍,每位同学可能都使用过电子计算器吧?可是你们要知道,计算器内部进行的计算就使用的是二进制数。我们经常和计算器打交道,应该懂一些二进制数方面的知识。1、什么叫二进制所谓二进制,就是只用0与1两个数字,在计数与计算时必须是“满二进一”。即每两个一样的单位组成一个和它相邻的较高的单位(所以任意一个二进制数只需用“0”与“1”表示就够了)。例如:2在二进制中是10;3写成二进制是11;4写成二进制数便是100,那么5呢?应该是101。同学们按照“逢二进一”(或“满二进一”)的法则,很容易得到以下两种进制的数字的对照表: 表 1十进制二进制十进制二进制123456781101110010111011110009101112131415161001101010111100110111101111100002、 二进制的优缺点 二进制的最大优点是:每个数的各个数位上只有两种状态0或1。这样,我们便可以通过简单的方法,例如白与黑、虚与实、负与正、点与划、小与大、暗与亮(在计算机中主要用电压的高与低)等等手段加以表示。下表中列出了在二进制中13的几种不同表示方法。表 20与1白与黑虚与实负与正点与划小与大 当然,二进制也有不足,正如大家看到的那样,同一个数和在二进制中要比在十进制中位数多得多。2.8.2二进制转十进制为了叙述的方便,我们约定:用( )2表示括号内写的数是二进制数,如(1011)2;用( )10表示括号中写的数是十进制数,如(37)10。步骤:(1) 将二进制数的各数位上数字改写成相应的十进制数;(2) 将各数位上对应的十进制数求和,所得结果就是相应的十进制数。例1 将(10110)2改成十进制数在表1中可以看到:二进制数10表示十进制数2;二进制数100,表示十进制数4;二进制数1000,表示十进制数8;二进制数10000表示十进制数16;可以看出规律;二进制数100000应该表示十进制数32,。那么我们写下一个二进制数10110,则应表示它含有一个16,一个4与一个2,也就是(10110)211608141201=(22)10例2 将(101101)2改成十进制数。(101101)2=132+016+18+14+02+11=(45)102.8.3十进制转二进制2 71 12 35 12 17 12 8 02 4 02 2 0 1 1将十进制数写成二进制数的常用方法除二倒取余法。例如要将(71)10写成二进制数,参见右式。我们将71除以2,余数1相应写在右边(如果除尽,余数则写0);再将商35除以2,余数1相应写在右边;再将这步的商17除以2,重复上述过程,直到商等于1为止。并且最后一步的商“1”也写到右边余数那一列的最下面。最后将这列余数由下到上写成一行数,这行数便是(71)10的二进制数表示法。即(71)10(1000111)2例2:把十进制数38改写成二进制数。2 38 0分析与解答:把十进制数改写成二进制数,可以根据二进制数“满二进2 19 1一”的原则,用2连续去除这个十进制数,直到商为零为止,把2 9 1每次所得的余数按相反的顺序写出来,就是所化成的二进制数,2 4 0 10这种方法叫做“除以二倒取余数”。 1 12 2 0 即:38(10)=100110(2)2.8.4二进制的四则运算 二进制四则运算和十进制四则运算原理一样,所不同的是十进制有十个数码,“满十进一”,二进制只有两个数码0和1,“满二进一”。二进制运算口诀则更为简单。2.8.4.1加法二进制加法,在同一数位上只有四种情况:000,011,101,1110。只要按从低位到高位依次运算,“满二进一”,就能很容易地完成加法运算。例1 二进制加法(1)101101101;(2)1110101011。解 加法算式和十进制加法一样,把右边第一位对齐,依次相应数位对齐,每个数位满二向上一位进一。101101101100011 1110101011111001通过计算不难验证,二进制加法也满足“交换律”,如1011101110110110010。多个数相加,先把前两个数相加,再把所得结果依次与下 一个加数相加。例2 二进制加法(1)10111011110;(2)101(11011110)。解(1)10111011110 (2)101(11011110)100101110 10111011100000; 100000从例2的计算结果可以看出二进制加法也满足“结合律”。2.8.4.2减法二进制减法也和十进制减法类似,先把数位对齐,同一数位不够减时,从高一位借位,“借一当二”。例3 二进制减法(1)1101011110;(2)100011011。解(1)1101011111010111;(2)100011011110。例4 二进制加减混合运算(1)110101110111111;(2)1011011101111011。解(1)110101110111111100001011111100011(2)10110111011110111001111011101101。2.8.4.3乘法二进制只有两个数码0和1,乘法口诀只有以下几条:000,010,100,111概括成口诀:零零得零,一零得零,一一得一。二进制乘法算式和十进制写法也一样。例5 二进制乘法(1)1001101;(2)110011010。解(1)1011101110111;(2)11001101011111010。例6 二进制运算(1)1011101;(2)1101101;(3)(10111)1010;(4)1011010111010。解(1) (2)10111011000001; 11011011000001;(3)(10111)10101010000;(4)10110101110101010000从例6的计算结果可以看出,二进制乘法满足“交换律”;乘法对加法也满足“分配律”。对这一结论,大家还可以进行多次验证。2.8.4.4除法除法是乘法的逆运算,二进制除法和十进制除法也一样,而且更简单,每一位商数不是0,就是1。例7 二进制除法(1)101000101001;(2)10010011111。解 (1) (2)10100010100110010; 1001001111110101。例8 求二进制除法的商数和余数111010101解111010101 所得商数是1011,余数是11。在二进制除法中,被除数,除数,商数和余数的关系和十进制除法的关系是一样的。被除数除数商数余数。如例8,111010101101111。2.8.5二进制小数 /
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