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第十九章四边形知识点总结与典型例题一、平行四边形的性质 1、平行四边形的定义: 有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2、平行四边形的性质(包括边、角、对角线三方面) : 边:平行四边形的两组对边分别平行; 平行四边形的两组对边分别相等; 角:平行四边形的两组对角分别相等; 对角线:平行四边形的对角线互相平分.【补充】平行四边形的邻角互补;平行四边形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点. 3、多边形的对角线: 从边形的一个顶点可以引 条对角线; 边形共有 条对角线. 4、正多边形:各个角都相等,各个边都相等的多边形叫做正多边形. 5、多边形的内角和与外角和: 多边形的内角和等于; 多边形的外角和等于.典型例题:1:多边形的内角和与外角和 1、若多边形的每个内角都为150,则从一个顶点引的对角线有( )A.7条 B.8条 C.9条 D.10条 2、如果一个四边形内角之比是2235,那么这四个内角中( )A.有两个钝角B.有两个直角 C.只有一个直角 D.只有一个锐角 3、一个多边形的外角和是内角和的一半,则它是边形( )A.7 B.6 C.5 D.4 4、若等角n边形的一个外角不大于40,则它是边形( )A.n=8 B.n=9 C.n9 D.n92:平行四边形的性质 5、如图,平行四边形ABCD中,AEBD,CFBD,垂足分别为E、F. 求证:BAE =DCF. 6、如图,在平行四边形中,为垂足,如果,那么的度数是( ) A. B. C.D.7、如图,在正五边形ABCDE中,连结AC,AD,则CAD的度数是 .二、平行四边形的判定 1、平行四边形的判定(包括边、角、对角线三方面):边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形; 两组对边分别相等的四边形是平行四边形; 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形;对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形. 2、三角形中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 3、三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半. 4、平行线间的距离: 两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的距离,叫做这两条平行线间的距离。两条平行线间的距离处处相等。典型例题:3:平行四边形的判定 1如图,在平行四边形ABCD中,AEBD,CFBD,垂足分别为E、F求证:四边形AECF是平行四边形 2、如图,在ABCD中,对角线AC与BD交于点O,已知点E、F分别为AO、OC的中点,证明:四边形BFDE是平行四边形4:三角形中位线定理 1、如图,ABC中ACB=90,点D、E分别是AC,AB的中点,点F在BC的延长线上,且CDF=A.求证:四边形DECF是平行四边形. 三、矩形的性质 1、矩形的定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2、矩形的性质:矩形具有平行四边形的所有性质;矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等;矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形,有两条对称轴,对称中心是对角线的交点.典型例题:5:矩形的性质 1、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分2、如图,过矩形ABCD的对角线BD上一点K,分别作矩形两边的平行线MN与PQ,那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1( ) S2(填“”或“=”或“”)四、矩形的判定1、矩形的判定: 有一个角是直角的平行四边形是矩形; 对角线相等的平行四边形是矩形; 有三个角是直角的四边形是矩形.2、证明一个四边形是矩形的步骤:方法一:先证明该四边形是平行四边形,再证一角为直角或对角线相等;方法二:若一个四边形中的直角较多,则可证三个角为直角.3、直角三角形斜边中线定理: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.典型例题:6矩形的判定 1、如图,在ABC中,AB=AC,D为BC中点,四边形ABDE是平行四边形求证:四边形ADCE是矩形. 2、已知:如图,四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的,点M、N分别为AD、BC的中点求证:四边形BMDN是矩形7:直角三角形斜边中线定理3、如图,已知BD、CE分别是ABC的AC、BC边上的高,G、F分别是BC、DE的中点求证:GFDE五、菱形的性质 1、菱形的定义: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2、菱形的性质: 菱形具有平行四边形的所有性质; 菱形的四条边都相等; 菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角; 菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形,有两条对称轴,对称中心是对角线交点. 3、菱形的面积公式:菱形的两条对角线的长分别为,则典型例题:8:菱形的性质1、如图,已知菱形ABCD的边长为4cm,BAD=120,对角线AC、BD相交于点O,试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长9:菱形的面积公式2、菱形ABCD的对角线交于O点,AC=16cm,BD=12cm求菱形ABCD的高 六、菱形的判定 1、菱形的判定:有一组邻边相等的平行四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形;四条边都相等的四边形是菱形. 2、证明一个四边形是菱形的步骤:方法一:先证明它是一个平行四边形,然后证明“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”;方法二:直接证明“四条边相等”.典型例题:10:菱形的判定 1、如图所示,已知ABCD,AC,BD相交于点O,添加一个条件使平行四边形为菱形,添加的条件为_(只写出符合要求的一个即可)2如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DEAC,过点C作CEBD,DE与CE相交于点E.(1)四边形OCED是什么图形?请证明你的结论;(2)连接OE,若AC=6,BD=8,求OE的长. 七、正方形的性质 1、正方形的定义: 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 2、正方形的性质: 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质,即正方形的四条边都相等;四个角都是直角;对角线互相垂直平分且相等,并且每条对角线平分一组对角. 3、正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有四条对称轴,对角线的交点是对称中心.典型例题:11:正方形的性质 1、下列性质中,平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是() A对角线互相平分 B对角线互相垂直C对角线相等 D对角线互相垂直且相等 八、正方形的判定 1、正方形的判定: 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形; 有一组邻边相等的矩形是正方形; 对角线互相垂直的矩形是正方形; 有一个角是直角的菱形是正方形; 对角线相等的菱形是正方形; 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.典型例题:12:正方形的判定 1、四边形ABCD的对角线AC=BD,ACBD,分别过A、B、C、D作对角线的平行线,所成的四边形EFMN是() A正方形 B菱形 C矩形 D任意四边形2如图,在矩形ABCD中,M、N分别为AD、BC的中点, E、F分别是BM、CM的中点.(1)求证:四边形MENF是菱形;(2)当AD与AB满足什么数量关系时,四边形MENF是正方形?说明理由.
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