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高考数学精品复习资料 2019.51过点P(2,0)的直线与抛物线C:y24x相交于A、B两点,且|PA|AB|,则点A到抛物线C的焦点的距离为()A. B.C. D2答案A解析设A(x1,y1)、B(x2,y2),分别过点A、B作直线x2的垂线,垂足分别为点D、E.|PA|AB|,又得x1,则点A到抛物线C的焦点的距离为1.2设F为抛物线C:y23x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为()A. B.C. D.答案D解析由已知得F,故直线AB的方程为ytan30,即yx.设A(x1,y1),B(x2,y2),联立将代入并整理得x2x0,x1x2,线段|AB|x1x2p12.又原点(0,0)到直线AB的距离为d.SOAB|AB|d12.3.已知点A(2,3)在抛物线C:y22px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()A. B.C. D.答案D解析由题意可知准线方程x2,p4,抛物线方程为y28x.由已知易得过点A与抛物线y28x相切的直线斜率存在,设为k,且k0,则可得切线方程为y3k(x2)联立方程消去x得ky28y2416k0.(*)由相切得644k(2416k)0,解得k或k2(舍去),代入(*)解得y8,把y8代入y28x,得x8,即切点B的坐标为(8,8),又焦点F为(2,0),故直线BF的斜率为.4已知F为抛物线y2x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2 B3C. D.答案B解析设AB所在直线方程为xmyt.由消去x,得y2myt0.设A(y,y1),B(y,y2)(不妨令y10,y2b0)过点(0,),且离心率e.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:xmy1(mR)交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由解解法一:(1)由已知得,解得所以椭圆E的方程为1.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0)由得(m22)y22my30,所以y1y2,y1y2,从而y0.所以|GH|22y2y(m21)ymy0.(1m2)(yy1y2),故|GH|2my0(1m2)y1y20,所以|GH|.故点G在以AB为直径的圆外解法二:(1)同解法一(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则,.由得(m22)y22my30,所以y1y2,y1y2,从而y1y2y1y2(m21)y1y2m(y1y2)0,所以cos,0.又,不共线,所以AGB为锐角故点G在以AB为直径的圆外9已知点A(0,2),椭圆E:1(ab0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当OPQ的面积最大时,求l的方程解(1)设F(c,0),由条件知,得c.又,所以a2,b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意,故设l:ykx2,P(x1,y1),Q(x2,y2)将ykx2代入y21,得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0,即k2时,x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d,所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设 t,则t0,SOPQ.因为t4,当且仅当t2,即k时等号成立,且满足0.所以,当OPQ的面积最大时,l的方程为yx2或yx2.10圆x2y24的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图)双曲线C1:1过点P且离心率为.(1)求C1的方程;(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程解(1)设切点坐标为(x0,y0)(x00,y00),则切线斜率为,切线方程为yy0(xx0),即x0xy0y4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S.由xy42x0y0,知当且仅当x0y0时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,)由题意知解得a21,b22,故C1的方程为x21.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(,0),(,0),由此设C2的方程为1,其中b10.由P(,)在C2上,得1,解得b3.因此C2的方程为1.显然,l不是直线y0.设l的方程为xmy,点A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m22)y22my30,又y1,y2是方程的根,因此由x1my1,x2my2,得因为(x1,y1),(x2,y2)由题意知0,所以x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)40.将,代入式整理,得2m22m4110,解得m1或m1.因此直线l的方程为xy0或xy0.11如图,已知两条抛物线E1:y22p1x(p10)和E2:y22p2x(p20),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点(1)证明:A1B1A2B2;(2)过O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点记A1B1C1与A2B2C2的面积分别为S1与S2,求的值解(1)证明:设直线l1,l2的方程分别为yk1x,yk2x(k1,k20),则由得A1,由得A2.同理可得B1,B2.所以2p1.2p2.故,所以A1B1A2B2.(2)由(1)知A1B1A2B2,同理可得B1C1B2C2,C1A1C2A2.所以A1B1C1A2B2C2.因此2.又由(1)中的知.故.
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