目录1 设计相关理论 31.1 串联谐振电路 31.1.1 电路模型分析 31.1.2 电路谐振条件 41.1.3 电路频率响应 41.1.4 电路品质因数 51.2 无源滤波器 81.2.1 低通滤波器 81.2.2 高通滤波器 91.2.3 带通滤波器 91.2.4 带阻滤波器 92 设计内容 112.1 原理分析112.2 数学建模112.3 参数推导122.4 可行性分析 132.5 程序设计142.5.1 程序框图 142.5.2 程序代码 152.5.3Mablab 函数说明及使用说明 163 设计结果 213.1 程序运行结果和图表 213.2 结果分析233.3 设计结论234 心得体会 25参考文献27摘要本次课程设计是研究一阶带阻滤波器，以 U0 为响应，求频率响应函数，画出其幅频 特性和相频特性曲线。首先，通过对滤波器背景理论的学习与理解，对设计题目进行分析 并做出了数学模型，然后借助Matlab软件，画出题目所要求的幅频、相频图，并通过调整 和设计参数画出了比较合理的图形。在设计中，我深刻理解到了滤波器的工作原理，而且 发现理想和实际中的曲线有不小差距，与此同时，也熟练了 Matlab的相关操作和应用，对 信号理论和RLC串联谐振有了更新的认识。最后，本文对此次课程设计中的收获和体会进行了总结。关键词：滤波器 幅频 相频 Matlab 串联谐振一阶无源带阻滤波器的分析和设计1设计相关理论1.1串联谐振电路电路频率响应的最重要的特征是其在幅度特性上所呈现的峰值点（或尖峰点、谐振峰 值点）。谐振的概念应用于科学和工程的多个领域之中。任何有复共轭极点对的系统都会 产生谐振，这是振荡产生的根源。谐振峰值的现象用在通信网络中可以进行频率识别。在 至少有一个电容和一个电感的任何电路中都可能产生储能由一种形式到另一种形式转换 的谐振振荡。谐振是RLC电路中的一种状态，该电路中电容和电感的电抗大小是相等的，结果呈现 出纯电阻的阻抗性质。串联或并联谐振电路的传递函数有很高的频率选择性，所以在设计和制作滤波器过程 中是很有用的，其他许多应用中包括收音机的选台和电视机的选频道等。1.1.1电路模型分析考虑如图1.1.11所示的串联RLC频率电路。图 1.1.11其输入阻抗是：1.1.2电路谐振条件若传递函数的虚部为零，则产生谐振，即Im(Z)= a)L = 0满足上述条件的值称为谐振频率，因此谐振的条件是又因所以：f=2HZ在谐振条件下，有1、阻抗是纯电阻二二-0换言之，L二的串联组合相当于短路，整个电压都加在电阻&上。2、电压门和电流是同相的，所以功率因数为1。3、 传递函数=，其量值最小。4、电感上电压和电容上的电压可能比原电压高得多。可由下列关系证实：|Vj = cooL=QVm式中Q是品质因数。1.1.3 电路频率响应RLC电路的电流的频率响应是:其图形如图 1.1.31所示。图 1.1.31该图说明了频率轴为对数坐标时的 I 大小的对称特性。1.1.4 电路品质因数RLC电路所消耗的平均功率是:P（Q） = |l2R谐振频率时，电路消耗最大功率是：令：，二込，心时，消耗的功率是最大功率的一半，即:则称心，迁为半功率（点）频率。半功率频率可以通过令，二求得，即:扶+仏-爲）忌解昂,得到:由此可以得到半功率点频率与谐振频率的关系是:叫=4叫5即谐振频率是半功率频率的几何平均值。一般来讲,频率响应并不对称于谐振频率,所以4,迂也不是对称于辽的。但是，认为半功率点频率对称于谐振频率是一个比较合理 的近似。图1.1.31中谐振曲线的峰值取决于电阻R,而该曲线的宽度取决于其频带宽度B，带 宽定义为两个半功率点频率之差:E =叫一眄这种频带宽度的定义是几种常用的定义之一。严格地说,上式所定义的带宽称为半功 率带宽,是半功率点频率之间的谐振曲线的频带宽度。谐振曲线的“锐度”用品质因数Q这个量来度量。电路谐振时，电路中的电抗能量在 电感和电容之间来回振荡。因质因数将电路储存的最大（峰值）能量与每振荡一个周期所 消耗的能量间的关系连系起来，定义为：飞电路存储的峰值能量Q_51 振荡一个周期电路所消耗的能量品质因数也是电路中储能的性能与耗能性能之间关系的一个度量。在串联RLC电路中, 储能的峰值是二二，一个周期的耗能是：.，= ,；,所以：品质因数是无量纲的值，带宽B和品质因数Q之间的关系由将式代入，并利用式关系 得到：或者B = cn02CR谐振电路的品质因数是其谐振频率与带宽之比。注：上述公式只适用于RLC串联电路。如图1.1.41所示，Q值越高，电路的频率选择性越强，而其频带也越窄。RLC电路的选频特性是电路对每个频率的响应，并排除其它频率的一种能力，如果要选用或要排斥的 频带很窄，品质因数必须很高，反之若频带较宽，则谐振电路的品质因数应该低一些。品质因数也是电路电路性（或谐振“锐度”）的一个度量。 通常谐振电路总是工作在其谐振频率处或其邻近处，当电路的品质因数等于或大于 10 时，称为咼Q电路。在咼Q电路（Q210）的所有实际应用中，其半功率频率都可认为是 对称于谐振频率的且可挖地按下式表示：BBg 用cfln Sg闵caD + 高;?电路经常在通信网络中使用。综上所述，谐振电路可以用以下五个相关的参数来表征：两个半功率点的频率込和比， 谐振频率込，带宽B和品质因数Q。1.2 无源滤波器滤波器的概念从开始就一直是电子工程进展中的一个主要组成部分，没有电子滤波器 的参与，某些技术成果将是不可能的。滤波器是一个被精心设计的电路，它只允许一些特定频率的信号通过，而阻止或衰减 其他频率的信号。作为一个频率选择装置，滤波器可以用来将信号的频谱限制在某个指定的频带宽度范 围内，在无线电接收机和电视机中，从空间许许多多广播信号中选出所需要的信号频道所 用的电路就是滤波器。如果滤波器电路的组成元件只有无源元件R，L和C，则称为无源滤波器；如果除了无 源元件R，L和C外，还有有源器件（例如晶体管、运算放大器等），则称为有源滤波器。 本文讨论无源滤波器。1.2.1 低通滤波器低通滤波器是只通过从直流到截止频率辽的滤波器。一个RC电路取其电容器上的电压 作为输出，就构成一个典型的低通滤波器。一个RL电路以电阻两端作为输出也构成了一个 低通滤波器。1.2.2 高通滤波器高通滤波器是通过所有高于其截止频率仝的滤波器。一个RC电路以电阻两端作为输 出，就构成了一个高通滤波器。若 RL 电路以电感两端作为输出也构成了一个高通滤波器。1.2.3 带通滤波器带通滤波器是通过频带（込迁）中所有频率的滤波器。RLC串联谐振电路以电阻 两端为输出，就是一个带通滤波器。1.2.4 带阻滤波器一个滤波器阻止两个指定值（叱和込）之间的频带通过，贝U称之为带阻滤波器、带止 滤波器或陷波器。当一个串联 RLC 谐振电路取其 LC 串联的组合为输出时，即构成了带阻滤波器。0(t)如图 1.2.41 所示，其传递函数是由式可见：= _。图1.2.42所示为m讨的幅频特性，其中心频率为:同样，滤波器的半功率频率、带宽和品质因数，仍然可以用上述串联谐振电路的公式来计算，例如：E = J巴L Q这里的色称为抑制频率，而对应的带宽三二色称为抑制带宽。带阻滤波器是抑制或消除在频率込:迁内所有频率的滤波器。注意：对于相同R，L和C值的带通滤波器的传递函数与带阻滤波器的传递函数相加 得到的结果是在任何频率下都为 1。这是因为这两个电路其中一个电路的特性是另一个的 反特性，当然，一般情况下，上述结果是不成立的。无源滤波器的最大增益是 1，要想得到大于 1的增益，应该用有源滤波器。2设计内容本次课程设计的内容是研究一阶带阻滤波器。如图2.1，以U0为响应，求频率响应函 数，画出其幅频响应（幅频特性）m ：和相频的响应（相频特性）心.小。0(t)2.1 原理分析如图2.1, 个串联RLC谐振电路取其LC串联的组合作为输出，构成了带阻滤波器,其传递函数，即频率响应函数是：中心频率为带宽B和品质因数Q之间的关系:E厶巴L Q2.2数学建模频率响应函数：于是，有：x2(R2 + x2)(R2-Fx2)2故其幅频响应（幅频特性）为書應+0相频响应（相频特性）：2.3参数推导经过反复尝试和推算，分析得出当R=】二，L=】mH, C=_m时得出的曲线是比较合理的。由：R |/R X2 1五+证求得半功率点频率电路的谐振频率：带宽：品质因数：:：二二二二工二二二m.x。s(j = -= = 1000rad/so三二. -. 二二lS S3,2.4可行性分析由于：二二，所以此电路属于高Q电路，通常用于通信电路。Q表征一个储能器件（如 电感线圈、电容等）、谐振电路中所储能量同每周期损耗能量之比的一种质量指标；电抗 元件的Q值等于它的电抗与其等效串联电阻的比值；元件的Q值愈大，用该元件组成的电 路或网络的选择性愈佳。Q值越大，曲线越尖锐，通频带越窄，电路的选择性越好。在恒 压源供电时，电路的品质因数、选择性与通频带只决定于电路本身的参数，与信号源无关。 提高品质因数可以选用带有磁心的电感线圈。电感线圈中带有磁心时，可使线圈圈数及其 电阻大大减少，有利于Q值的提高。另外，还可以采用根据工作频率选择绕制线圈的导线、 选用优质骨架，减少介质损耗、合理选择屏蔽罩的尺寸等等一系列措施来提高品质因数， 提高电路性能。对于电路所用到的器材，电阻、电感、电容，都是常见值，比较好找。而且电路结构 简单，容易搭建。但是由于这个滤波器不含放大电路，放大倍数最大就是 1，不能对有用 的信号加以放大处理，这是一个缺陷。它只能把谐振频率附近的频段阻碍掉，留下有用的 频率。总体来讲，作为一个一阶无源带阻滤波器，这次设计还是可行的。可以做出成品， 并且电路拥有相应的功能，而且还比较稳定。但从滤波器的角度看，也存在不足，比如： 能放大、功能过少、实用价值低等等。若仅仅作为设计还是可以的，如果要用于工业生产 和使用，本设计还得加以改进和调试，方可更经济更有效的使用。2.5 程序设计Mablab是矩阵实验室(Matrix Laboratory)的简称，是美国MathWorks公司出品的商 业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和 交互式环境，主要包括 Mablab 和 Simulink 两大部分。Mablab是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设 计的高科技计算环境。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统的 建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程