十、推理与证明（高考真题+模拟新题）课标理数10.M1，D2，B112011福建卷 已知函数f(x)exx.对于曲线yf(x)上横坐标成等差数列的三个点A、B、C，给出以下判断：ABC一定是钝角三角形；ABC可能是直角三角形；ABC可能是等腰三角形；ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是()A B C D课标理数10.M1，D2，B112011福建卷 B【解析】 解法一：(1)设A、B、C三点的横坐标分别为x1，x2，x3(x1x20， f(x)在(，)上是增函数， f(x1)f(x2)f(x3)，且f， (x1x2，f(x1)f(x2)，(x3x2，f(x3)f(x2)， (x1x2)(x3x2)(f(x1)f(x2)(f(x3)f(x2)0， ABC为钝角，判断正确，错；(2)若ABC为等腰三角形，则只需ABBC，即(x1x2)2(f(x1)f(x2)2(x3x2)2(f(x3)f(x2)2， x1，x2，x3成等差数列，即2x2x1x3，且f(x1)f(x2)f(x3)，只需 f(x2)f(x1)f(x3)f(x2)，即2f(x2)f(x1)f(x3)，即 f，这与f相矛盾，ABC不可能是等腰三角形，判断错误，正确，故选B.解法二：(1)设A、B、C三点的横坐标为x1，x2，x3(x1x20， f(x)在(，)上是增函数，画出f(x)的图象(大致) f(x1)f(x2)f(x3)，且f，如图12，设直线AB、BC的倾斜角分别为和，由0kABkBC，得，故ABC()为钝角，判断正确，错误；由x1，x2，x3成等差数列，得x2x1x3x2，若ABC为等腰三角形，只需ABBC，则 f(x2)f(x1)f(x3)f(x2)，由0kAB0)，观察：来源:学,科,网Z,X,X,Kf1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根据以上事实，由归纳推理可得：当nN*且n2时，fn(x)f(fn1(x)_.课标理数15.M12011山东卷 【解析】 观察1,3,7,15，与对应项的关系，显然满足2n1，观察2,4,8,16，与对应项的关系，显然满足2n，故fn(x).课标理数13.M12011陕西卷 观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第n个等式为_课标理数13.M12011陕西卷 n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2【解析】 由每一行分析发现规律是以后每一个数都比前一个数大1，再对每一行的第一个数分析找规律为以后每一个数都比前一个数大1，对每一行的最后一个数分析找规律为1,4,7,10，(3n2)，对结果找规律为12,32,52，(2n1)2，所以第n个等式为n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.课标文数13.M12011陕西卷 观察下列等式11234934567254567891049照此规律，第五个等式应为_课标文数13.M12011陕西卷 567891011121381【解析】 因为11第一个式子左边1个数，右边1；2349第二个式子左边2个数，从2开始加，加3个数，右边3的平方；3456725第三个式子左边5个数，从3开始加，加5个数，右边5的平方；4567891049第四个左边7个数，从4开始加，加7个数，右边7的平方，故第五项为567891011121381.课标理数22.B9，M32011湖南卷 已知函数f(x)x3，g(x)x.(1)求函数h(x)f(x)g(x)的零点个数，并说明理由；来源:学。科。网(2)设数列an(nN*)满足a1a(a0)，f(an1)g(an)，证明：存在常数M，使得对于任意的nN*，都有anM.课标理数22.B9，M32011湖南卷 【解答】 (1)由h(x)x3x知，x0，)，而h(0)0，且h(1)10，则x0为h(x)的一个零点，且h(x)在(1,2)内有零点因此，h(x)至少有两个零点解法一：h(x)3x21x，记(x)3x21x，则(x)6xx.当x(0，)时，(x)0，因此(x)在(0，)上单调递增，则(x)在(0，)内至多只有一个零点又因为(1)0，0，则(x)在内有零点，所以(x)在(0，)内有且只有一个零点记此零点为x1，则当x(0，x1)时，(x)(x1)0.所以，当x(0，x1)时，h(x)单调递减而h(0)0，则h(x)在(0，x1内无零点；当x(x1，)时，h(x)单调递增，则h(x)在(x1，)内至多只有一个零点，从而h(x)在(0，)内至多只有一个零点综上所述，h(x)有且只有两个零点解法二：由h(x)x，记(x)x21x，则(x)2xx.当x(0，)时，(x)0，从而(x)在(0，)上单调递增，则(x)在(0，)内至多只有一个零点因此h(x)在(0，)内也至多只有一个零点综上所述，h(x)有且只有两个零点(2)记h(x)的正零点为x0，即xx0. (i)当ax0时，由a1a，即a1x0.而aa1x0x，因此a2x0.由此猜测：anx0.下面用数学归纳法证明当n1时，a1x0显然成立假设当nk(k1)时，akx0成立，则当nk1时，由aakx0x知，ak1x0.因此，当nk1时，ak1x0成立故对任意的nN*，anx0成立(ii)当ax0时，由(1)知，h(x)在(x0，)上单调递增，则h(a)h(x0)0，即a3a.从而aa1aa3，即a2a.由此猜测：ana.下面用数学归纳法证明