大一上学期高数期末考试一、单项选择题（本大题有4小题,每题4分,共16分）1 设f x） = cos X （x + Isin X |）,则在* = 0 处有（）.（A）尸（）= 2（B）（）= 1 （C）尸（）= 0 （D）f（幻不可导。1 x设a（x） =, B（X） = 3-3Vx,则当r t 1 时（）2.1 +x。（A）a与0是同阶无穷小,但不是等价无穷小；（B） a与0是等价无穷小；（C）。是比P高阶的无穷小；（D） P是比。高阶的无穷小.x3.假设=。-g ,其中f（-）在区间上卬）二阶可导且 f（x）0,则（）。（A）函数F必在=。处取得极大值；（B）函数F必在尤=。处取得极小值；（C）函数F（Q在尤=。处没有极值,但点（,F（）为曲线】= F（x）的拐点；（D）函数F（在尤=。处没有极值,点（,F（）也不是曲线】=F（的拐点。4.二、5.设f G)是连续函数,且 f (x) = x + 2J：f (t)dt ,则 f (x)=( x2x2+ 2(A) 2(B) 2(C) *-1 (D) x + 2。填空题(本大题有4小题,每题4分,共16分)2lim (1 + 3 x)=x T o6.已知驱兰是/（X）的一个原函数,xlim (cos 2 + cos 2 2 hcos 2 1 冗)=7. w * nn nnix2 arcsin x +1 1vi - x 28. 二三、解答题（本大题有5小题,每题8分,共40分）9.设函数）=火尤）由方程产+（功=1确定,求T （ X ）以及7 （）。10.11.12.xxe ,41x - x1,0 v x q f f (x) dx冗丸f f (x) d x = 0 f f (x) cos x dx = 017.设函数f(x)在,冗上连续,且o,七证明：在,冗)内至少存在两个不同的点&,&2,使/(&1)= /(&2)= 0.(提xF (x) = j f ( x )dx示：设 0)解答一、单项选择题（本大题有4小题,每题4分,共16分）二、填空题（本大题有4小题,每题4分,共16分）n31、D 2、A 3、C 4、C6 1 (竺I)2 + C 四8。.7.5. e . 6. 2“ .7.2。三、解答题(本大题有5小题,每题8分,共40分)9. 解：方程两边求导ex+ (1 + y) + cos( xy)(xy,+ y) = 0)=_叶3,顽功矿+y + x cos( xy)x = 0, y = 0, V(0) = -110. 解：u = x 7 7 x6 dx = du原式=-(1 -UU du = - f (-_-2-)du7 u(1 + u)7 u u + Y1=-(In I u | _2ln I u +11)+c12=In I x71 - ln 11 + x71 + C 7711. 解:I- f (X= JiS +、g认=J： xd (-。-x)+j： )dy = e -1则平面图形面积o2(2)三角形绕直线x= e 一周所得圆锥体体积记为Vi,则* = 3曲线7 =皿x与*轴及直线x= e所围成的图形绕直线x= e 一周所得旋转体体积 为V21V2 = J 冗(e -时)2 dy0V = V1 - V2 =生(5e2 - 12e + 3)D绕直线x= e旋转一周所得旋转体的体积6六、证明题(本大题有2小题,每题4分,共12分)q1qq1f f (x)d x - q f f (x)dx= j f (x) d x - q(j f (x) d x + j f (x)dx)16.证明000qq1=(1 - q) f (x) d x - q j f (x)dx&0,0 此 2日0,1f(&)W(&2)0(1- 0)/*(&)- 0(1- 0)/(&2)0故有：91证毕。j/(x)rfx j/(x)dr 0017.xF(x) = ff(t)dt ,0xk证:构造辅助函数：4。其满足在,汩上连续,在(,冗)上可导。F,(x)= f(x)f 且h(o)= f(丸)=。7U7C7U0 = f(x)cosxdx =fcosxIF(x) = F(x)cosxf + f sinx F(x)dx 由题设,有*00,nf(x)sinxdr = 0有,由积分中值定理,存在&(,冗),使(&)sin&=0即祢)=0综上可知F()=吒)=8(冗)=0, & f(0,冗).在区间。,&,&,冗上分别应用罗 尔定理,知存在& 以0,&)和&2(&,丸),使时(&)=。及歹(&2)=。,即 /(&) = /(&2)=。