第三篇立体几何专题08立体几何中的体积表面积问题常见考点考点一体积问题典例1 已知长方体ABCD - ABCD , E , F分别为CC和BB的中点,1111 1 12 AA1=AB=BC=2-(1) 求三棱锥C -AFA体积；1 1(2) 求证：平面ACF/平面BDE .变式1-1.在五面体EF -ABCD中，正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直，四 边形 ABCD 为等腰梯形,AB/CD, AD=DC=BC= 1 AB.2若三棱锥a-bce的体积为433，求线段A的长.变式1-2.如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD丄平面BCD, AB = AD , O为BD的中占I 八、证明：OA丄CD ；(2)若AOCD是边长为2的等边三角形，点E在棱AD上，DE = 2EA且二面角E-BC- D的大小为60，求三棱锥A-BCD的体积.变式1-3如图，在平面五边形SBCDA中，ADHBC, AD丄AB, AD=2BC=2AB, 将ASAB沿AB折起到P的位置，使得平面PAB丄底面ABCD，如图，且E为PD 的中点.(1)求证：CEH平面PAB；若PA=PB=6, AB=4，求三棱锥A-BCE的体积.考点二表面积问题典例2如图所示正四棱锥s-ABCD，SA = SB = SC = SD = 2，AB = 41，P为侧棱SD上的点，且SP = 3PD，求:(1)正四棱锥S - ABCD的表面积;(2)侧棱SC上是否存在一点E，使得BE/平面PAC 若存在，求EC的值：若不EC存在，试说明理由.变式2-1.如图，在底面为矩形的四棱锥P - ABCD中，E为棱AD上一点，PE丄底面(1) 证明：AB丄PD ;若AE = 2，AB = DE = PE = 3，过E作EF丄平面PCD，垂足为F，求三棱锥D-ACF 的侧面积.变式2-2.已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆 O，ZAOO = 30。1 1(1) 试用r表示圆柱的表面积和体积；(2) 若圆柱体积为加，求点C到平面OEF的距离.变式2-3.如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，C 为底面圆周上一点.P(1) 若弧BC的中点为D，求证：AC/平面POD ;(2) 如果PAB面积是9,求此圆锥的表面积及三棱锥C-PAB体积的最大值.练习练习一体积问题1如图，在直四棱柱ABCD - ABCD中，底面ABCD为菱形，且ZBAD二60。，E为1111AB的中点，F为BC与BC的交点.1 1(1) 求证：平面DEF丄平面CDDC ;1 1(2) 若DD = AD = 2，求三棱锥D - DF的体积.2.如图，四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD丄平面ABCD，点O,M, E 分别是 AD，PC，BC 的中点，PA = PD，PO = AD = 2.(1) 求证：平面POE丄平面ADM ;(2) 求三棱锥P ADM的体积.3如图所示的直四棱柱ABCD- ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F1111分别是棱BC，CD上的点，且BE=2EC, DF=2FC, AA1 = 3，G在棱cq上，O为上 底面的中心，AO平面EFG.5CG求的值;(2)求三棱锥G - OBE的体积.14.如图，在直三棱柱ABC - ABC中，AC丄BC, AC = 3, AA1 = 2 BC = &D, E分别是 1 1 1 1满足CF = CE , M是CD的中点.1(2)求三棱锥C - DEF的体积.练习二表面积问题5如图，在四棱锥SABCD中，SA丄底面ABCD,底面ABCD是梯形，其中 AD/BC, AD = 2BC, AD 丄 AB，且 AD = 1,SA = AB = 2.求四棱锥SABCD的侧面积；(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.6如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB边所在直 线为旋转轴旋转120。得到的封闭图形.(1)设BC = 1，AB = 2，求这个几何体的表面积；设G是弧DF的中点，设P是弧CE上的一点，且AP丄BE 求异面直线AG与BP 所成角的大小.7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是矩形，且AD = 2 , AB = PA = 1, PA丄平面ABCD, E，F分别是线段AB，BC的中点.p(1)证明：PF丄FD ;求四棱锥P - ABCD的表面积；(3) 求直线PE与平面PFD所成角的大小.8已知四棱锥P- ABCD的底面为直角梯形，AB/DC，ZDAB = 90。，PA丄AD，且PA = AB = 2AD = 2DC = 2 , PB = J2AB.(1) 证明：平面PAC丄平面PBC ;(2) 求四棱锥P- ABCD的侧面积.