多尺度建模及计算方法张平文（北京大学铁学科学学院100871 ）攝要：多尺度建模与多尺度计算方法已经成为计算科学研究方向.与传统的计算方法不同. 多尺度召算方法需要与多尺度建模问题同时考臥 本文介绍了几种常用的多尺度计算方汛 析方決.多尺度有限元方法与分空次多尺度计算方法.并以复条说体为例介绍了多尺度建模过 程与多尺度计算方法的关系关键词：多尺浚建樓 多尺度计算方法 复杂沆体传统的数学模空是建立祀单一层次的物理规律之匕的应用三大守ill定仲（质钛、 动載、能董）及某种本构关系，从而形成某类偏微分方程组（如Navier-Stokes方程） 计算方法就是数值求解这吐俑俺分方程组的离散方法如有限差分方法有限元方法、 诺方法等.计算方法与数学模型是两个单独的过稈.即数学建模不考虑将来使用什么 样的计算方法，而研究计算方法不考世数学建模的过程.随石计算机的髙速发展，与 之相适应的计算方法与计算技术取得了巨大的成功.建立在牛顿力学慕础之上的连续介质力学数学模型，其飲连续性假设”并不能反 映某些微观尺度起主导作用的运动.如裂纹传播、晶体生长等。当然.我们可以以fit 子力学为基础来建立这些问題的数学模型，然而.即使用当今最快的计算机和对此方 程最好的计算方法（密度泛函方法人能计算最大的体系也不过几千个电子离实际 要求相距共远。因而对这类微观尺度也起主导作用的运动建立多尺度物理模型足必耍 的.多尺度物理模型是指对不同的区域或不同的尺度层次应用不同物理规律建立的 数学模型。我们期望多尺度物理模型不仅能较好地反映物性机理且为能有效计族提供 可能性.从而使得多尺度建模与多尺度计算方法成为-对学生兄弟。与传统的计算方9法研究不同.多尺度建模成为计算科学研究中咆耍的组成部分。心建立多尺皮物理楔亜过程中.帝用的儿个物理尼次为处子力学（Quantum Mechanics）.分 f 动力学（Me 1 ecu I ar Dynamics）,分（运动论（Kinet ic Theory）和连 续介质力(Continuui Theory)多尺侵物理模型中冇曲个希用的槪念：宋观与微观.与物理学家理解不同，我们 把他们看成一个相对的概念我们通帘把咙观变fit记为微观变星记为“宏观区 域记为微观区域记为D 状态空间分别记为Q = C(D). u)=C(D),宏观与微观 变盘信息交换山两个主要的算子压缩算子Q和霓构算子R完成，他们满足U =Qu、 uRU. QRUU显然.这两个垛子都不足唯一的.在传统的数学模型中，有时我们不御不引进太多的经验参数(如液晶或模型在 某些区域不对或缺乏轿度(如裂纹).这时.我们期刎建立多尺搜物理模型逹免上述 用难.所以，即便不考虔计荒方法的影响.多尺皮物理模巾对負实反映物性机理也是 非常重耍的.多尺度物理模熨中宏观与微观经常会相互耦合址简单的情形为单向的(Serial Coupling).即微观模型为宏观模更提供参数或变駅但不依赖宠观枳型瑕一般的饬 形是宏观模型与微观校型相兀关联(Concurrent coupling).从区域角度看，宏观模 型与微观模醴既可以是局部網合也可以是全局耦合.在多尺度物理模型中，我们有一个基本假设即微观模空在菸个区域祁是正确的 据此.我们把经常遇到的多尺度模空分为两类：A塑：宜观模型在丿4和区域不对(如裂纹人B型：宏观模型存任但不知兵体形式(如均匀化何题).对这两类问題可能采用的多尺ZSiHZ方法也笙别很大数值求解多尺度物理模空的计层方法称Z为多尺度计算方法。对均匀化向題.多 尺度计算方法可以分为三类：解析力法.多尺度仃限元方法和分层次莎尺灰方法解析方法就绘找到宠观控制方出.然后用偸规的汁你方法求解.这个过秤吋以农 达为L” 二人 Lu f LhUh f t?多尺度仃限元方法就足用能反映微观卅息的V；函数用代滋视仃讯尤的坂两数的 求解揑制方胳 该加川iTMMlRi元创始人Z BnbXk“捉出后 Tom Hou. Schwab等人发展.成为重耍的多尺度计算方法.该方法的不足之处是处理非线 性问题有困难.且并没有筱少。分层次多尺度方法与上述两种多尺度计算方法不同它只是一个框架它可以简 单表还为：给定微观模型M, =/()我们希望得到U = Qu.从而我们假设U严F(U)这里通HF(/)并不知道.上述方程用Euler格式可以求解/*. i广-=F(Ua).D/所谓分层次多尺度计算方法就足从微观模型中给出通诳F(tr)的求解方法这样我 们不需耍知道观模型方稈.却可以求解左观变械。山徐昆等人提出的求今气动力学 运动学格式就杲个典型的分层次多尺度计算方法它不需要知道宏观运动方程 (Euler方程人却可以求出处观变园密度.速度、温度等。分层次多尺度计坏方法 的一般椎架是由鄂维南和B. Engquist曲纳整理的。下面我们以复杂流体为例.来认识多尺度建模与多尺度计毎方法的全过程不町压流体力学基本运动方程(Navier-Stokes)为叫 +(t/V)n +V.p = Vr( 1)VW = Or = r, = (Vw 4 (Vw)r) = 2ftd(3)其中u为速度场，P为压力，r为应力张農.方程(I)是由动战守恒得到的方程(2) 足由质最守恒得到的，(3是牛硕假设的木构关系桃奇妙的是上述NS方程对绝 大多数流体(小分子)运动都适用。但对一空夏杂的漁体.如衆合物讹休(Polymer儿上述牛顿流体运动万程不冉适 用.主要是线性本构关系(3)不再成立。如果上述本构关系用某种非线性本构关系 柠代t = t,+tfj R示聚合物的贡献.则方程(1)(2) (1)称为於丫帧流体方秤。但思 我们片不 划道聚介物怎样谚响濂体运旬或人说IM*液体运劲力净陆楚没仃准确描啄介物#流体运动这时.如果我们考电聚合物分f形状.引进多尺度HT匕 就能里林确刻加 奴杂流体运动T :.瑕简单的复杂流休多尺度模型是假设聚合物分子为哑铃欢考股分子在流体中运 动(Kinetic Theory).这时.单个分子位形箜化受流体的摩擦力弹性力和fig机力 的形响.从而单个分子的运动方程为(5)(6)dQ=(KQ-；F(Q)d/ + ?dW这是一个随机微分方程，其中K = (V“)J Q是分子的构型(Configuration). i方稈的 Fokker-Planck 方程乂称 Smoluchowski 方程/；+(“/+% (kQ-*F(QM 卜学 A“,(7)这里/为聚合物的密度函数 F(Q)为哑铃状分子两个“小球之间的弹性力，一股 弹性力勺虔两种情形 Hookean弹性力F(Q) = HQ或FENE弹性力(8)(9)己知聚合物分子运动状态町以通过Kramers农达式来求应力张放T/t = -nKtTI + h ( 10)实中 F(Q)Qx j f(Q)F(Q)QdQ (11这样就完成了哑铃状分子址杂流体的多尺度建模过程。宏观为流体运动方微规为 分子运动论(Kinetic Theory).信息传递关系为Kramers达式】0,该姜尺度模朋是双向耦介的尿B型问題这甲.微观模空既可以为fifi机微分力程(5(6).也 可以是 Fokker-Planck 方程(7).下面考电该多尺度模住的多尺度计毎方法，由于该模型不是均匀化问故不能 考虎多尺度有限元方法曲先我们考电上述模住的解析方法如果我们石电Hookean弹性力則匕述微观模住的二阶矩足封闭的TA,Tr-2Tffdr厂 KJ-0 0( 13)(12) (13)与流动运动方程(1) (2)形成 个封闭的系统称之为0ldroyd-B模型. 它相肖于多尺度模空的左观方程应用常规的计算方法即可以得到数值结果.若我们 考电FENE弹簧.二阶矩方程并不封闭.其中包含舛阶矩.对分布函数做-些假设. 我们也可以御到近似的宏观方程(非牛顿流体运动方程.上述封闭过程就是典型的 解析方法对上述多尺度模塑也可以口接离散求解.tl Ottinger的CO5WFFESSIT方 法 llu；sen等人的BCF方法，这些都是针对多尺度模型传统的计陋方法.我们称之 为数值多尺度计算方法.庆中涉及到确定型与随机模拟方法的耦介.忑样减少的机误 蚤(方差)等方面问题。上述多尺度模型无皇纲化U 4-(wV + VPsr(14)zRe ReDe J JxF(Q)QVW=O(15)(16)(17)(18)其中屁为Reynold数.De为Deborah数。当Deborah ft很小时，我们可以用多层次 的多尺度计算方法来解决时低步长刚性何题它的辜本原理为宏观方用我们能用大步 长.微观方稗必须使用小步长.但微观方程很快驰ft到定常解，从而.只需要对微观 方程作少鼠时间步计算就可以把数值解延拓到宏观方程中去.另外，多尺度模型方程滋适定性、解的结构与性质等课題也是我们关心的问题.对更加一般的分子结构.如棒状分子.多个啡铃状分子连接在一起的大分子 等.我们郝可以考比这样的聚合物复杂液体多尺度模中.也紂到了相关一些结果如 缺陷形成机制及动力学等论著目录：1. Ruo Li, Tao Tang and Pingwen Zhan& Moving Mesh Methods in Multiple Dimensions Based on Harmonic Mapi. Journal of Computational Physics 170, pp562-588 (2001).2. Ticjun Li und Pmgwcn Zhang Numerical Studies of Shallow water Waves on Slopping Beach with Artificial Boundary i I* 口数7 Vol.23. No.4 pp5O3512 (2001).3 Qing Du. Dianzhong Li. Yiyi Li. Rou Li and Pingwen Zhang. Simulating A Double Casting technique Using Level Set Method. Compulational Matenals Science 22 pp200 212(2001).4. Thomas Y. Hou anc Pingwen Zhang. Convergence of A Boundary Integral Method for 3D Water Wavts. Discrete and Continuous Dynamical Systems Senes B. Vol. 2. Number 1 ppi-34, (2002).5. Pingwen Zhang and Xiaoming Zheng. Numerical Studies of 2D Free Surface Waves with Fixed Bottom. Journal of Computational Mathematics. Vo).20. No.4, pp39l-412. (2002).6. Ruo Li, Tao Tang and Pingwen Zhang, A Moving Mesh Finite Element Algorithm forSingular Problems for Two and Three Space Dimensio