单位代码：10204本科毕业论文传染病微分方程模型的研究姓名:学号：学院：专业：数学与应用数学指导教师:职称：2011年6月中文摘要本文利用微分方程稳定性理论对传统传染病动力学建模方式进行综述。且针对甲流，SAR潴新生传染病模型建模及分析。本文共分为三部分。第一部分介绍了 SIS,SIR和SIRS模型，分别对三种模型进行模型假设，模 型建立以及模型分析。第二部分研究甲流数学模型。分析传染病蔓延的条件和控制传染病蔓延的措 施。结合WT8布的数据，针对这次甲型H1N1流感的传播的特点建立数学模型， 定量地分析在世界范围的传播情况。第三部分研究SARS专播数学模型。根据SARS专播的特点，建立了含有时滞 项的微分方程模型。该模型在传统的SIR模型基础上新增加了自由带菌者，这类 人是SARSfl以传播的根源，可以通过控制自由带菌者来控制 SARS勺传播。经过 仿真证明了该模型的合理性。关键词：传染病模型，SIS,SIR,SIRS ,平衡点，全局渐近稳定，甲型 H1N1流感，SARSAbstractIn this paper, the stability theory of differential equations modeling the traditional way of dynamics of infectious diseases was reviewed. SARS and other new infectious disease are modeled and analysis.This article is divided into three parts.The first part introduces the SIS, SIR and SIRS models, each model assumes that the three models, model building and model analysis.The second part research a flow model. We analysis the conditions for the spread of infectious diseases, measure to control the spread of infectious diseases. The data published with WTO , In response to the characteristics of the spread of influenza A H1N1 influenza make Mathematical model. Weanalyze the spread around the world quantitatively.The third part we Research the mathematical model for spread of SARS. According to the characteristics of SARS transmission, the establishment of the differential equation model with time delay. The model based on the traditional SIR model added the free carriers- the source of SARS can be spread, the spread of SARS can be controlled by controlling free carriers. By simulation we proved that the model is reasonable.Keywords: Epidemic Model, SIS, SIR, SIRS, Balance, Global asymptotic stability, Influenza H1N1 flu, SARS.目录第一章绪论11.1 传染病模型国内外研究概况 11.2 本文工作2第二章介于SIS,SIR和SIRS模型的建立 32.1 模型简介32.2 模型的建立3第三章甲流传播数学模型83.1 甲流问题的重述与分析 83.2 模型假设83.3 模型的建立93.3.1 模型一白建立93.3.2 模型二白建立 93.4 模型的求解及结果分析 103.4.1 模型一白求解103.4.2 相轨线的分析123.5 HINI 在全球的传播特点分析 15第四章SARS传播数学模型 184.1 SARS问题的重述与分析 184.2 模型假设184.3 模型的建立194.3.1 人群的分类194.3.2 参数说明194.3.3 方程的建立 194.4 模型仿真201.1.1 4. 1 模型参数的确定201.1.2 初始值的确定221.1.3 仿真结果23结论24参考文献25致谢26第一章绪论1.1 传染病模型国内外研究概况随着卫生设施的改善，医院水平的提高以及人类文明的不断发展， 诸如天花， 霍论等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到了有效的控制。但在世界的某些地 方，特别是贫穷的发展中国家还不时出现传染病流行的情况。例如， 2003年春 季在我国及周边国家爆发的大规模“非典型肺炎（简称SAR$严重的危害了人类的健康。长期以来，建立传染病的数学模型描述传染病的传播过程，揭示其流行规律，预测其变化发展趋势，分析其流行的原因和关键因素，以寻求对其预防 和控制的最优策略已成为共识。关于传染病传播的数学模型的研究确切地说是始于20世纪。1906年，Hamer为了理解麻疹的反复流行，构造并分析了一个离散时间模型。1911年，公共卫生医生Ross博士利用微分方程模型对疟疾在蚊子与人群间传播的动态行为进行 了研究，该项研究成果使他第二次获得了Nobel医学奖。1926年，Kermack和McKendrick为了研究16651666年黑死病在伦敦的流行规律以及 1906年瘟疫 在孟买的流行规律，构造了著名的 SIR仓室模型之后，又在1932年提出了 SIS 仓室模型，并在分析所建立模型的基础上，提出了区分疾病流行与否的“阈值理 论”，为传染病动力学的研究奠定了基础。传染病动力学的建模与研究于20世纪 中叶开始蓬勃地发展，作为标志性的著作是Bailey于1957年出版、1975年第二版的专著。近20年来，国际上传染病动力学的研究进展迅速，大量的数学模型被用于 分析各种各样的传染病问题。从传染病的传播机理看，这些模型涉及接触传播、 垂直传播、虫媒传播等不同感染方式，是否考虑疾病的潜伏期，对病人的隔离， 因病或因接种而获得的免疫力以及免疫力的逐渐丧失，是否可以忽略因病死亡 率、种群自身的增长规律等因素。对模型的理论研究主要集中在疾病的持续生存， 平衡位置特别是导致地方病平衡点的平衡位置和周期解的存在性和稳定性，再生数以及分歧点的寻找等动力学性态。早期的传染病模型大多假设种群为常数或者 渐近常数，在某些条件下是合理的。但在实际问题中，不论动物还是植物的数量 总是随着外界的扰动而波动，因此需要研究总人口具有种群动力学的流行病模型。常见的种群动力学行为是对易感者仓室的常数输入，种群的指数增长， Logistic 型增长等。止匕外，考虑国际旅游等对疾病流行的影响，Braaer认为每个仓室均可能有新成员输入。从数学上看，这类模型的研究更加困难。因为总人 口的变化增加了方程的维数。关于传染病模型研究目前已取得许多成果， 研究有各种类型，所用方法有构 造Liapunov函数法，极限方程理论，矩阵理论，分支理论， K序单调系统理论， 中心流形理论等。1.2 本文工作在本论文中，首先概述了传染病模型中的三种基础的模型，即 SIS,SIR和 SIRS模型，并且分别对三种模型进行模型假设、模型建立以及模型分析，为研 究传染病模型的实际应用工作提供了很好的准备。其次，研究甲流传播数学模型。根据甲型H1N1患者在患病后就存在免疫性 即可移出感染系统的特点，建立模型一。为了避免不能得到解析解的情况， 我们 运用MATLAB软件，根据龙格一库塔方法求解，并根据相轨图分析传播特点。 考虑到各国都采取了隔离的措施来延缓 H1N1的传播，我们通过模型二来描述这 种影响。最后研究SARS专播数学模型。在传统的SIR微分方程模型基础上，建立自 己的SRAS专播的微分方程模型。在人群分类上，除了 SIR模型中的S（易感染者）， I（确诊病人）,R（退出者）之外，增加了一个新的人群分类 F（自由带菌者）。因为 自由带菌者是SARSW毒在人群中传播扩散的根源，把他单独列出来有助于了解 SARS勺传播过程。通过仿真，得到的结果和统计数据能很好的拟和。第二章 介于SIS,SIR和SIRS模型的建立2.1 模型简介大多数传染病,K型都是对由 Kermark和MeKendrick所建立的SIR模型的修 正而得到的.图2.1中的三个框图所描述的疾病的传播机制分别就是常见的 SIS, SIR和SIRS模型.SIS模型所描述白是染病者J康复后不具有免疫力，可以再次 被感染；SIR模型所刻画的是染病者，康复后获得了终身免疫力：而 SIRS模型 则意味着患者康复后只有暂时免疫力，免疫力丧失后又重新成为易感者.对SIS, SIR和SIRS模型的研究至今已有大量相当好的工作。恢复率免疫力丧失率图2. 1：传染病动力学模型的基本形式2.2 模型的建立模型I SIS 模型模型假设(1)疫区封闭，即总人数N常数，其中病人数(川people )在时间t时为 i (t),其余人为易感人群(sensitive people )，并假设函数有连续导数；在单 位时间内一个病人能接触到的人数为定量，记作k。，称为接触率，并将接触到的人 中的健康人传染成病人；初始时刻的病人数为i。(2)病人的医好率为K;(3)医好的病人与未得病的人具有同样的可能性被再次感染；(4)不考虑病死.模型的建立：病人数的增长率就是传染率，而传染率为接触率乘以易感人数在总人口中的比例1-i (t)/N ,再减去医好率先，即i (t)满足下面的常微分方程的初值问题：i(t)-ki i(t)N模型分析: 该方程仍可用可分离变量的方法加以求解则原方程可改写成dtdit =等 N-it -ki it = ko N-i t -kt ILN解得方程的解为:koi t一 NkoioN模型H SIR模型模型假设1 .疫区封闭，即总人数N常数，其中病人数(ill people )在时间t时为i (t) 其余人为易感人群(sensitive people ),并假设函数有连续导数；恢复者 (Recovered),其数量比例记为r(t),表示t时刻已从染病者中移出的人数(这 部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们 已退出该传染系统。)占总人数的比例。2 .病人的日接触率(每个病人每天有效接触的平均人数) 为常数ko,日治愈(每1天被治愈的病人占总病人数的比例)为常数 ki ,显然平均传染期为 ,传染期 kik 接触数为二- 二gki模型的建立(1)(2)显然有：s(t) + i(t) + r(t) = 1对于