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课题:基本不等式的应用教学目标:1会用基本不等式来求代数式或函数的最值;2通过具体实例,学会将实际问题转化为数学问题来处理,利用不等式的有关方法来解决有关最优问题;3形成用数学的观点和方法分析、解决问题的习惯和意识教学重点:用基本不等式来求代数式或函数的最值教学难点:1形式化运用基本不等式的技巧2实际问题的数学化,即建立模型的过程教学过程问题1:前面一节课我们学习了基本不等式,其内容是什么?问题2:这里的a,b有没有要求?这里的”什么时候取到?a,b0;当且仅当ab时,取”通过前面的学习,我们已经了解到基本不等式可以帮助我们证明了一些不等关系,实际上基本不等式在求最值问题方面有着广泛的应用,今天我们将通过具体的实例来分析基本不等式的应用例 徐师傅想建一个100平方米的矩形猪圈请你帮徐师傅设计一下该矩形,使得所用的围墙建材最少分析:首先,这是一个实际问题,需要转化为数学问题”所需围墙建材最少”可以转化为” 所求的矩形的周长最小”解:设矩形的长为xm,周长为ym,则x0,宽为m,y2(x)因为x0,0,由基本不等式得,x220所以y2(x)40,当且仅当x,即x10时取”所以当边长为10m时,所需建材最少答 当边长为10m时,所需建材最少思考:能否结合刚才的问题,总结出表达式具有怎样的特征时,我们可以尝试基本不等式来求最小值?总结:一般地,已知x,y都是正数,如果积xy是定值P,那么,当且仅当xy时,和xy有最小值2变式1 徐师傅想建一个矩形的猪圈,手上有一批可以建成36米围墙的材料,请你帮助徐师傅设计一下该矩形,使猪圈的面积最大解:设矩形的长为xm,面积为ym2,则宽为(18x)m,0x18,yx(18x)方法1:(利用二次函数的性质)yx218x(x9)281由二次函数的性质可知,当x9时,y取到最大值,ymax81方法2:因为x0,18x0,由基本不等式得,9,所以x(18x)81,当且仅当x18x,即x9时取”所以当边长为9m时,面积最大答 当边长为9m时,面积最大思考:能否结合刚才的问题,总结出表达式具有怎样的特征时,我们可以尝试基本不等式来求最大值?总结:一般地,已知x,y都是正数,如果和xy是定值S,那么,当且仅当xy时,积xy有最大值S2变式2 徐师傅想建一个矩形的猪圈,手上有一批可以建成25米围墙的材料,如果猪圈的一面靠墙,如何设计才能使猪圈的面积最大?ABCD解:设矩形的宽AB为xm,面积为ym2,则矩形的长BC为(252x)m,0x,yx(252x)方法1:(利用二次函数的性质)方法2:因为x0,252x0,由基本不等式得,所以2x(252x),即x(252x),当且仅当2x252x,即x时取”所以当边长为m时,面积最大答 当边长为m时,面积最大一般结论:已知x,y都是正数:(1)如果积xy是定值P,那么,当且仅当xy时,和xy有最小值2(2)如果和xy是定值S,那么, 当且仅当xy时,积xy有最大值S2求最值的方法:“积定和最小,和定积最大”练习 求下列函数的最值:(1)已知x0,求y2x的最大值;(2)已知x2,求yx的最小值.解 (1)因为x0,所以,根据基本不等式,得x4,所以 y2x2(x)242,当且仅当x(x0),即x2时,ymax2(2)因为x2,所以x20,所以,根据基本不等式,得yx(x2)2224,当且仅当x2,即x3时,ymin4小结本节课的主要内容是基本不等式的应用已知x,y都是正数:(1)如果积xy是定值P,那么,当且仅当xy时,和xy有最小值2;(2)如果和xy是定值S,那么, 当且仅当xy时,积xy有最大值S2求最值的方法:“积定和最小,和定积最大”作业:P102 3,4,6
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