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最新数学精品教学资料 第1讲 证明(三角形专题)【学习目标】1、牢记三角形的有关性质及其判定;2、运用三角形的性质及判定进行有关计算与证明。【考点透视】1、全等三角形的性质与判定;2、等腰(等边)三角形的性质与判定;3、直角三角形的有关性质,勾股定理及其逆定理;4、相似三角形的性质与判定。【精彩知识】专题一 三角形问题中的结论探索【例1】如图所示,两块完全相同的含30角的直角三角形叠放在一起,且DAB=30。有以下四个结论:AFBC ;ADGACF; O为BC的中点; AG:DE=:4,其中正确结论的序号是 .ADBCEO变式练习1如图,ABD与AEC都是等边三角形,ABAC,下列结论中:BE=DC;BOD=60;BODCOE正确的序号是 考点感悟:专题二 三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索【例2】如图(1),RtABC中,ACB=-90,CDAB,垂足为DAF平分CAB,交CD于点E,交CB于点F(1)求证:CE=CF(2)将图(1)中的ADE沿AB向右平移到ADE的位置,使点E落在BC边上,其它条件不变,如图(2)所示试猜想:BE与CF有怎样的数量关系?请证明你的结论图(1) 图(2)【例3】ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为顶点作MDN=B(1)如图(1)当射线DN经过点A时,DM交AC边于点E,不添加辅助线,写出图中所有与ADE相似的三角形(2)如图(2),将MDN绕点D沿逆时针方向旋转,DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点(点E与点A不重合),不添加辅助线,写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论(3)在图(2)中,若AB=AC=10,BC=12,当DEF的面积等于ABC的面积的时,求线段EF的长考点感悟:变式练习:如图,O是正ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO,下列结论:BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到;点O与O的距离为4;AOB=150;其中正确的结论是【 】A B C D 【例4】如图1,ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BDCF成立(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转(090)时,如图2,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45时,如图3,延长BD交CF于点G求证:BDCF; 当AB=4,AD=时,求线段BG的长考点感悟:专题三 几何动态问题【例5】如图,在ABC中,ABAC10 cm,BC12 cm,点D是BC边的中点点P从点B出发,以a cm/s(a0)的速度沿BA匀速向点A运动;点Q同时以1 cm/s的速度从点D出发,沿DB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为t s(1)若a2,BPQBDA,求t的值;(2)设点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形若a,求PQ的长;是否存在实数a,使得点P在ACB的平分线上?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由考点感悟:变式练习:已知线段AB=6,CD是AB上两点,且AC=DB=1,P是线段CD上一动点,在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF,G为线段EF的中点,点P由点C移动到点D时,G点移动的路径长度为 专题四 几何与函数结合问题【例6】如图所示,在形状和大小不确定的ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,P在EF或EF的延长线上,BP交CE于D,Q在CE上且BQ平分CBP,设BP=,PE=.(1)当时,求的值;(2)当CQ=CE时,求与之间的函数关系式;(3)当CQ=CE时,求与之间的函数关系式;当CQ=CE(为不小于2的常数)时,求直接与之间的函数关系式。考点感悟:【例7】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4)以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动点P,Q的运动速度均为每秒1个单位运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;(2)过点E作EFAD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,ACG的面积最大?最大值为多少?(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值考点感悟:【课后测试】一、选择题:1、下列判断正确的是( )A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B.有两边对应相等,且有一角为30的两个等腰三角形全等C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等2、在平面直角坐标系xoy中,已知A(2,2),在y轴上确定点P,使AOP为等到腰三角形,则符合条件的点P共有( )A.2个 B.3个 C. 4个 D.5个二、填空题:3、在锐角三角形ABC中,BC=,ABC=45,BD平分ABC, M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值是 。4、如图,RtABC的边BC位于直线l上,AC=,ACB=90,A=30若RtABC由现在的位置向右滑动地旋转,当点A第3次落在直线l上时,点A所经过的路线的长为 (结果用含有的式子表示)三、解答题:5、在矩形ABCD中,点P在AD上,AB2,AP1将直角尺的顶点放在P处,直角尺的两边分别交AB,BC于点E,F,连接EF(如图)。(1)当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合(如图),求PC的长;(2)探究:将直尺从图中的位置开始,绕点P顺时针旋转,当点E和点A重合时停止在这个过程中,请你观察、猜想,并解答:的值是否发生变化?请说明理由;直接写出从开始到停止,线段EF的中点经过的路线长。 图 图6、如图(1),将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开得到ABD和ECF,固定ABD,并把ABD与ECF叠放在一起。(1)操作:如图(2),将ECF的顶点F固定在ABD的BD边上的中点处,ECF绕点F在BD边上方左右旋转,设旋转时FC交BA于点H(H点不与B点重合)。FE交DA于点G(G点不与D点重合)。求证:BHGD=BF2(2)操作:如图(3),ECF的顶点F在ABD的BD边上滑动(F点不与B、D点重合),且CF始终经过A,过点A作AGCE,交FE于点G,连接DG。探究:FD+DG=_。请予证明。 (1) (2) (3)学生对本次课的评价:特别满意 满意 一般 不怎么样家长意见或建议: 家长签字: 部分答案:【例3】解:(1)图(1)中与ADE相似的有ABD,ACD,DCE。(2)BDFCEDDEF,证明如下:B+BDF+BFD=180,EDF+BDF+CDE=180,又EDF=B,BFD=CDE。AB=AC,B=C。BDFCED。BD=CD,即。又C=EDF,CEDDEF。BDFCEDDEF。 (3)连接AD,过D点作DGEF,DHBF,垂足分别为G,HAB=AC,D是BC的中点,ADBC,BD=BC=6。在RtABD中,AD2=AB2BD2,即AD2=10262,AD=8。SABC=BCAD=128=48,SDEF=SABC=48=12。又ADBD=ABDH,。BDFDEF,DFB=EFD。 DHBF,DGEF,DHF=DGF。又DF=DF,DHFDGF(AAS)。DH=DG=。SDEF=EFDG=EF=12,EF=5。例3变式:A。【考点】旋转的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理的逆定理。【分析】正ABC,AB=CB,ABC=600。线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60得到线段BO,BO=BO,OAO=600。OBA=600ABO=OBA。BOABOC。BOA可以由BOC绕点B逆时针旋转60得到。故结论正确。 连接OO,BO=BO,OAO=600,OBO是等边三角形。OO=OB=4。故结论正确。在AOO中,三边长为OA=OC=5,OO=OB=4,OA=3,是一组勾股数,AOO是直角三角形。AOB=AOOOOB =900600=150。故结论正确。故结论错误。如图所示,将AOB绕点A逆时针旋转60,使得AB与AC重合,点O旋转至O点易知AOO是边长为3的等边三角形,COO是边长为3、4、5的直角三角形。则。故结论正确。综上所述,正确的结论为:。故选A。【例4】解:(1)BD=CF成立。理由如下:ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,AB=AC,AD=AF,BAC=DAF=90。BAD=BACDAC,CAF=DAFDAC,BAD=CAF。在BAD和CAF中,AB=AC,BAD=CAF,BADCAF(SAS)。BD=CF。(2)证明:设BG交AC于点MBADCAF(已证),ABM=GCM。又BMA=CMG,BMACMG。BGC=BAC=90
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