.练习2.11 对于任意正数,分析当n或x满足什么条件时下列不等成立.1；2.解：1因若要,即只需就能满足条件。2若要只需.2设,求,.解 不存在。不存在. 3指出下列函数在什么极限变量过程中是无穷小,在什么极限变量过程中是无穷大.1；2；3解：1易见故或时,函数为无穷小. 故时,函数为无穷大.2易见故,时函数为无穷小.3故时函数为无穷小.4说明当时不是无穷大.解 不是无穷大.易见令但是习题2.21计算下列函数在点处的左右极限与极限.解 由于 故 不存在.2计算下列极限.1； 2；解 1由于对任意有故 又由于 故有2易见且 故3证明的极限存在,并求.证明 先证明数列有界.用数学归纳法证明.当n=1时,假设当n=k时结论成立,即则当n=k+1时,即证数列有界. 下证数列单调.用数学归纳法证明.当n=1时,由于则假设当n=k时结论成立,即则当n=k+1时,即证对所有的n数列都是单调的,由单调有界数列必收敛,可知存在,不妨设为A.对两端求极限,可得即解方程得或舍去,故习题2.31计算下列极限.1；2；3；4.解 1由于故 2 由于故 3由于故 2计算下列极限.1；2；3；4；5；6；7；8；9,其中；10.解 1由于是个有界量,故2由于3456只需计算且由等价无穷小代换知当则故 78令则且故由于故 103计算下列极限.1 ；2；3；4；5；6； .解 1当利用无穷小代换可知2当故 极限不存在.3当且则45当则6当则7当则4根据极限等式确定其中参数.1,求A,k；2,求a,b；3若,求a；4若,求a,b；5,求a,b；6,求a,b；7,求a,b.解 1则即再代入上式可得2由于所以即3由于 故 即 由于所以即故 5由于解得代入原式得 解得6由于.5 根据等价无穷小关系确定参数.1当时,求a.2当时,求k.3当时,求.4当时,求k.解 1由于时,故 当 当时,故 当时,故 习题2.41利用函数连续性确定参数.1在处连续,求A.2已知函数连续,求参数k.3在上连续,求a.4已知函数连续,求参数a,b.解 要使在处连续,则又由于从而 由于是个分段函数,要使连续,只需证明在处连续,即又由于故 由于是个分段函数,要使连续,只需证明在处连续,即又由于故 由于是个分段函数,要使连续,只需证明在处连续,即又由于故 2寻找下列函数的可去间断点,并修改或补充间断点处函数值使其连续.1； 2；3；4.解 易见仅在处无定义,故为函数的间断点,且则为可去间断点,故只需令,则在处连续. 由于且由于在处极限不存在,故不是可去间断点；由于在处故是函数的可去间断点,可令即可使函数在处连续,由于在处极限不存在,故不是可去间断点.由于,函数仅在处没有定义,且故只需令即可使函数在处连续. 由于,函数仅在处没有定义,且故只需令即可使函数在处连续.3计算下列极限：1；2； 3；4； 5；6；7；解 令则 则 4 证明方程有非零根.证明,令易见在区间上连续,且则由根值存在定理可知存在使得即证方程有非零根5 证明方程至少有一个正根.证明 令易见在区间上连续,且则由根值存在定理可知存在使得即证方程至少有一个正根.复习题二1已知,证明.证明：由于,即对任给的当时,有则对上面给定的当时,有即证.2设, 在极限过程下,当a,b为何值时为无穷小？a,b为何值时为无穷大？ 解 由于要使 当且仅当要使 当且仅当？3* 设,计算.4设,计算.解 由于,从而则且由夹逼准则可得5计算下列极限：1；2；*；*；5；6；7；8；*；10.解 由于对任意的都有,即时为有界量, 由于对任意的都有为有界量,故 由于对任意的都有为有界量,则从而 由于且当为有界量,则从而太难7由于极限是个型,由罗必塔法则可得8*10由于极限是个型,由罗必塔法则可得6已知,求.解 由题意可得从而可得7已知,求c.解 由于则8设,求.解 由可得当时则9讨论下列函数的连续性,若函数有间断点,指出间断点类型.1；2.解 1当时当时即 易见故是跳跃间断点,且故函数在时连续.解 2当时,当时,即 易见为函数的分段点,但则函数在时连续,故函数是个连续函数.10*设在上连续,且.试证至少存在一点,使证明 令易见在上连续,并且则由连续函数的介值定理可得至少存在一点,使即11* 证明三次方程至少有一个实根.12证明方程至少有一个小于1的正根. 证明 令 易见在上连续,并且从而由连续函数的介值定理可得至少存在一点,使得即方程至少有一个小于1的正根.13设在区间连续,证明对于,存在,使. 证明 由于在区间上连续,则在上存在不妨令使得对区间上的任意点都有,从而有再令易见在区间上连续,且则由介值定理可知至少存在使得 /