课时跟踪检测（二十六） 临界知识问题1某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx(x表示不大于x的最大整数)可以表示为()AyByCy Dy解析：选B法一：特殊值法，若x56，y5，排除C、D，若x57，y6，排除A，所以选B.法二：设x10m(09)，当06时，m，当69时，m11，所以选B.2对于定义域为R的函数f(x)，若f(x)在区间(，0)和区间(0，)上均有零点，则称函数f(x)为“含界点函数”，则下列四个函数中，不是“含界点函数”的是()Af(x)x2bx1(bR)Bf(x)2|x1|Cf(x)2xx2Df(x)xsin x解析：选D因为f(x)x2bx1(bR)的零点即为方程x2bx10的根，所以b240，且方程x2bx10有一正根一负根，故函数f(x)x2bx1(bR)是“含界点函数”；令2|x1|0，得x3或x1，故f(x)2|x1|在区间(，0)和区间(0，)上均有零点，即f(x)为“含界点函数”；作出yx2和y2x的图象，可知f(x)2xx2在区间(，0)和区间(0，)上均有零点，故f(x)2xx2是“含界点函数”；因为f(x)xsin x在R上是增函数，且f(0)0，故f(x)xsin x不是“含界点函数”3下列四个函数：y2x；y2x；yx2；yxsin x；y中，属于有界泛函数的序号是_解析：当x0时，22；|sin x|1；.对于，当x4时，2xx2，|x|无界；对于，当x0时，|x|无界故填.答案：4对于具有相同定义域D的函数f(x)和g(x)，若存在函数h(x)kxb(k，b为常数)对任给的正数x，存在相应的x0D使得当xD且xx0时，总有x时f(x)g(x)0，则称直线l：ykxb为曲线yf(x)和yg(x)的“分渐近线”给出定义域均为Dx|x1的三组函数如下：f(x)x2，g(x)；f(x)10x2，g(x)；f(x)，g(x)2(x1ex)，其中，曲线yf(x)和yg(x)存在“分渐近线”的是_(填序号)解析：f(x)和g(x)存在分渐近线的充要条件是x时，f(x)g(x)0.对于：f(x)x2，g(x)，因为当x1，x时，f(x)g(x)(x1)，所以不存在；对于：f(x)10x2，g(x)，因为当x1，x时，f(x)g(x)0，所以存在分渐近线；对于：f(x)，g(x)2(x1ex)，当x1，x时，f(x)g(x)20，因此，存在分渐近线故存在分渐近线的是.答案：5求函数f(x)1(0x100)的值域(x表示不大于x的最大整数)解：当0x15时，得01，则0，f(x)1.当15x100时，1，所以f(x)1，因为16，所以1,2,3,4,5,6，f(x)0，1，2，3，4，5.所以值域为1,0，1，2，3，4，56已知上凸函数f(x)在定义域内满足f.若函数ysin x在(0，)上是上凸函数，那么在ABC中，求sin Asin Bsin C的最大值解：因为ysin x在(0，)上是上凸函数，则(sin Asin Bsin C)sinsin，即sin Asin Bsin C，当且仅当sin Asin Bsin C时，即ABC时，取等号故sin Asin Bsin C的最大值为.7已知不等式log2n，其中n为大于2的整数，log2n表示不超过log2n的最大整数设数列an的各项为正，且满足a1b(b0)，an，n2,3,4，.(1)证明an，n3,4,5，；(2)试确定一个正整数N，使得当nN时，对任意b0，都有an.解：(1)证明：法一：因为当n2时，0an，所以，即，于是有，.所有不等式两边相加可得.由已知不等式知，当n3时，有log2n因为a1b，所以log2n.所以an.法二：设f(n)，首先利用数学归纳法证不等式an，n3,4,5，.当n3时，由a3知不等式成立假设当nk(k3，kN*)时，不等式成立，即ak，则ak1，即当nk1时，不等式也成立由知，an，n3,4,5，.又由已知不等式得an，n3,4,5，.(2)因为，令，则有log2nlog2n10n2101 024，故取N1 024，可使当nN时，都有an.8.如图，已知异面直线a，b成60角，其公垂线段(指与a，b直线垂直相交的线段)EF2，长为4的线段AB的两端点A，B分别在直线a，b上运动(1)指出AB中点P的轨迹所在位置；(2)求AB中点P的轨迹所在的曲线方程解：(1)设EF的中点O，而P为AB的中点，故O，P在EF的中垂面上，从而P点轨迹在EF的中垂面上(2)设A，B在面上的射影为C，D，则由APPB2，ACBD1，得CD2.因为aOC，bOD，所以COD60.在平面内，以O为原点，COD的角平分线为x轴的正半轴建立直角坐标系如图设C点的坐标为(t1，t1)，D点坐标为(t2，t2)，则P点坐标(x，y)满足因为CD2，所以(t1t2)2(t1t2)212.所以y21，故P点轨迹在EF的中垂面上，且轨迹为椭圆9设P为椭圆1长轴上一个动点，过P点斜率为k的直线交椭圆于A，B两点若|PA|2|PB|2的值仅依赖于k而与P无关，求k的值解：设点P的坐标为(a,0)，直线方程为代入椭圆方程1得(16cos225sin2)t232acos t16a24000.所以t1t2，t1t2.所以|PA|2|PB|2tt(t1t2)22t1t22232.因为|PA|2|PB|2的值与P无关就是与a无关，所以16cos225sin20，所以k.10已知mR，直线l：mx(m21)y4m和圆C：x2y28x4y160.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)直线 l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧，为什么？解：(1)当m0时，直线l的斜率为0；当m0时，直线l的斜率k.当m0时，m2，所以0k；当m0时，m2，所以k0.所以直线l的斜率的取值范围是.(2)法一：因为圆心C(4，2)到直线l的距离d.若直线l能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧，则劣弧对的圆心角为120.所以d1，即2(m21)，化简得3m45m230.而此方程无实数解，所以直线l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧法二：因为直线l的方程可化为：(m4)x(m21)y0，所以直线l恒过点(4,0)，此点正好是圆C与x轴的切点，由几何知识可得要使直线l能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧，则直线l的倾斜角为60或120，所以直线l的斜率为，这与k矛盾，所以直线l不能将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧