22向量的线性运算22.1向量的加法情景：请看如下问题：(1)如图(1)，某人从A到B，再从B按原来的方向到C，则两次位移的和应该是_(2)如图(2)，飞机从A到B，再改变方向从B到C，则两次位移的和应该是_(3)如图(3)，船的速度是，水流速度是，则两个速度的和应该是_思考：从(1)(2)(3)的解答，你发现了一个什么规律？1已知向量a、b在平面内_，作a，b，则叫做a与b的和，记作_，即_，求两个向量和的运算，叫做_，上述方法称为向量加法的_答案：是非零向量abab向量的加法三角形法则2以同一点A为起点的两个已知向量a、b为_作ABCD，则以_就是a与b的和，这种方法叫做向量加法的_答案：邻边A为起点的对角线平行四边形法则3ab_；(ab)c_；a0_答案：baa(bc)0aa4向量的加法的几何意义是_答案：满足平行四边形法则和三角形法则向量的加法1向量加法的定义已知向量a和b(如上图)，在平面内任取一点O，作a，b，则叫做a与b的和，记作ab，即ab.求两个向量和的运算叫做向量的加法对于零向量和任一向量a，有a00aa.对于相反向量，有a(a)(a)a0.2向量加法运算律向量的加法满足交换律和结合律，即abba，(ab)ca(bc)3向量加法运算的几何意义(1)向量加法的三角形法则根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则对三角形法则的理解：我们知道，向量加法的三角形法则是：若a，b，则ab(如右图所示)向量加法的三角形法则的式子内容是：两个向量(均指用两个字母表示的向量)相加，则表示第一个向量终点的字母与表示第二个向量起点的字母必须相同(否则无法相加)，这样两个向量的和向量是以第一个向量的起点的字母为起点，以第二个向量的终点的字母为终点的向量位移的合成可以看做是向量加法三角形法则的物理模型(力的合成可以看做向量加法平行四边形的物理模型)(2)向量加法的平行四边形法则如右图，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线就是a与b的和我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则1在四边形ABCD中，则()AABCD一定为矩形BABCD一定为菱形CABCD一定为正方形DABCD一定为平行四边形答案：D2下列结论中，不正确的是()A0aaB.2C对于任意向量a，b，|ab|0D对于任意向量a，b，|a|b|ab|a|b|答案：B3在矩形ABCD中，等于_答案： 或 或4如右图，已知四边形ABCD是梯形，ABCD，E、F、G、H分别是AD、BC、AB、CD的中点，则等于_答案：5()()化简后等于_答案：6._答案：07已知ABC是正三角形，则在下列各等式中不成立的是()A|B|C|D|解析：作出正三角形ABC，AD、CE分别是三角形的中线，利用平行四边形法则：|2|，|2|.又ABC为正三角形，|.故C项正确A、D两项直接利用三角形法则判断也是正确的，只有B项不正确答案：B8如图，已知ABC是直角三角形且A90.则在下列各结论中，正确的结论个数为_|2|2|2解析：以、为邻边作平行四边形ABDC，则ABDC为矩形，而矩形的对角线相等，故均正确，另外两个可直接求解也是正确的答案：4个9向量a、b满足|a|6，|b|10，则|ab|的最大值是_，最小值是_(1)解析：当a、b不共线时，如图(1)，作a，b，则ab.由向量加法的几何意义知|ab|a|b|16.当a、b共线同向时，如图(2)，作a，b，ab，由向量加法的几何意义可知|ab|a|b|16.(2)当a、b共线反向时：如图(3)所示，作a，b，则ab，由向量加法的几何意义可知|ab|b|a|1064，|ab|的最大值为16，最小值为4.(3)本题也可以直接利用|a|b|ab|a|b|求解答案：16410如图所示，用两根绳子把重为10 N的物体W吊在水平杆AB上，ACW150，BCW120，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)解析：设，分别表示A，B处所受的力，10 N的重力用表示，则.因为ECG18015030，FCG18012060，所以|cos 30105(N)，|cos 60105(N)故A和B处所受力的大小分别为5 N，5 N.11如图，ABC中，BAC90，ADBC于点D，求证：|2|2|2.解析：如图，由于BAC90，ADBC，因此，若以DB，DA为邻边作矩形ADBE，则|，且.所以|2|2|2.同理|2|2，所以|2|2|2|2|2，即|2|2|2.12如下图：平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，P为平面内任意一点，求证：4.证明：，O为平行四边形ABCD对角线的交点，.，得4()()00，4.