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-根本不等式习专题之根本不等式做题技巧【根本知识】1.1假设,则 (2)假设,则当且仅当时取=2. (1)假设,则 (2)假设,则当且仅当时取=(3)假设,则 (当且仅当时取=(4)当且仅当a =b =c时,=号成立; ,当且仅当a = b = c时,=号成立.4.假设,则当且仅当时取=注:1当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓积定和最小,和定积最大2求最值的条件一正,二定,三取等(3)熟悉一个重要的不等式链:。【技巧讲解】技巧一:凑项增减项与凑系数利用均值不等式做题时,条件不满足时关键在于构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进展构造1:,求函数的最大值。2. 当时,求的最大值。3:设,求函数的最大值。4、求函数的最小值。5 ,且满足,求的最大值. 6*,y为正实数,且* 21,求*的最大值.7 假设且,求的最小值 .技巧一答案:1解:因,所以首先要调整符号,又不是常数,所以对要进展拆、凑项,当且仅当,即时,上式等号成立,故当时,。评注:此题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。2解析:由知,利用根本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到为定值,故只需将凑上一个系数即可。当,即*2时取等号当*2时,的最大值为8。评注:此题无法直接运用根本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用根本不等式求最大值。3、解:当且仅当即时等号成立。4解析:,当且仅当即时,=号成立,故此函数最小值是。评析:利用均值不等式求几个正数和的最小值时,关键在于构造条件,使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项常常是拆底次的式子等方式进展构造。5、分析, 是二项积的形式,但不知其和的形式是否认值,而是与的和为定值,故应先配系数,即将变形为,再用均值不等式. 当且仅当,即时,等号成立. 所以的最大值是. 6分析:因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab。同时还应化简中y2前面的系数为,*下面将*,分别看成两个因式:*即*7分析初看,这是一个三元式的最值问题,无法利用+b来解决.换个思路,可考虑将重新组合,变成,而等于定值,于是就可以利用均值不等式了. 技巧二:别离或裂项1. 求的值域。2求函数的值域. 1解析一:此题看似无法运用根本不等式,不妨将分子配方凑出含有*1的项,再将其别离。当,即时,当且仅当*1时取号。2、解:可将上式转化为所以值域为:技巧三:换元1、求的值域。2、求函数的最大值. 3、正数*、y满足,求的最小值。4、*,y为正实数,且* 21,求*的最大值.参考答案:1、解析:此题看似无法运用根本不等式,可先换元,令t=*1,化简原式在别离求最值。当,即t=时,当t=2即*1时取号。评注:分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为,g(*)恒正或恒负的形式,然后运用根本不等式来求最值。2分析可先令,进展换元,再使分子常数化,然后运用均值不等式来解决. 3、解法三:三角换元法令则有,易求得时=号成立,故最小值是18。技巧四:消元转化为函数最值,此时要注意确定变量的围1、 正数*、y满足,求的最小值。2、a,b为正实数,2baba30,求函数y的最小值.3、设为正实数,则的最小值是. 1解法:消元法由得,由则。当且仅当即时=号成立,故此函数最小值是18。法一:a,abb由a0得,0b15令tb+1,1t16,ab2t34t28ab18 y当且仅当t4,即b3,a6时,等号成立。3分析此题也是三元式的最值问题.由题意得,则可对进展消元,用表示,即变为二元式,然后可利用均值不等式解决问题. 技巧五:整体代换(条件不等式)1:,且,求的最小值。2、正数*、y满足,求的最小值。1错解:,且,故。错因:解法中两次连用根本不等式,在等号成立条件是,在等号成立条件是即,取等号的条件的不一致,产生错误。因此,在利用根本不等式处理问题时,列出等号成立条件是解题的必要步骤,而且是检验转换是否有误的一种方法。正解:,当且仅当时,上式等号成立,又,可得时,。变式:1假设且,求的最小值(2)且,求的最小值2、解法:利用均值不等式,当且仅当即时=号成立,故此函数最小值是18。技巧六:转化为不等式1. a,b为正实数,2baba30,求函数y的最小值.2、正数满足,试求、的围。1解:由得:30aba2ba2b2 30ab2令u则u22u300,5u33,ab18,y点评:此题考察不等式的应用、不等式的解法及运算能力;如何由不等式出发求得的围,关键是寻找到之间的关系,由此想到不等式,这样将条件转换为含的不等式,进而解得的围.1解法:由,则,即解得,当且仅当即时取=号,故的取值围是。又,当且仅当即时取=号,故的取值围是技巧六:取平方1、 *,y为正实数,3*2y10,求函数W的最值.2: 求函数的最大值。解法一:假设利用算术平均与平方平均之间的不等关系,此题很简单2解法二:条件与结论均为和的形式,设法直接用根本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向和为定值条件靠拢。W0,W23*2y210210()2()2 10(3*2y)20W2解析:注意到与的和为定值。又,所以当且仅当=,即时取等号。故。评注:此题将解析式两边平方构造出和为定值,为利用根本不等式创造了条件。总之,我们利用根本不等式求最值时,一定要注意一正二定三相等,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用根本不等式。注意:在应用最值定理求最值时,假设遇等号取不到的情况,应结合函数的单调性。1:求函数的值域。2、假设*、y,求的最小值。1解:令,则因,但解得不在区间,故等号不成立,考虑单调性。因为在区间单调递增,所以在其子区间为单调递增函数,故。所以,所求函数的值域为。2解法一:单调性法由函数图象及性质知,当时,函数是减函数。证明:任取且,则,则,即在上是减函数。故当时,在上有最小值5。解法二:配方法因,则有,易知当时,且单调递减,则在上也是减函数,即在上是减函数,当时,在上有最小值5。解法三:导数法由得,当时,则函数在上是减函数。故当时,在上有最小值5。解法四:拆分法,当且仅当时=号成立,故此函数最小值是5。评析:求解此类问题,要注意灵活选取方法,特别是单调性法、导数法具有一般性,配方法及拆分法也是较为简洁实用得方法。练习:2.假设实数满足,则的最小值是.分析:和到积是一个缩小的过程,而且定值,因此考虑利用均值定理求最小值,解:都是正数,当时等号成立,由及得即当时,的最小值是63假设,求的最小值.并求*,y的值求以下函数的最大值:解析:,当且仅当即时,=号成立,故此函数最大值是1。,则,欲求y的最大值,可先求y2的最大值。,当且仅当,即时,不等式中的=号成立,故此函数最大值是。4.a0,b0,ab(ab)1,求ab的最小值。5.假设直角三角形周长为1,求它的面积最大值。. z.
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