For personaluse only in study andresearch; not for commercial use芈袅第一章量子理论基础蚂习题答案12 袀 什么是物质波和它的统计解释？莈 参考答案 :芆象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，2代表粒子的几率密度， 在时刻 t，空间 q 点附近体积元 d 内粒子的几率应为2 d ；在整个空间找到一个粒子的几率应为2d 1 。表示波函数具有归一性。莄34羃如何理解合格波函数的基本条件？莈参考答案蚆合格波函数的基本条件是单值，连续和平方可积。由于波函数2 代表概率密度的物理意义，所以就要求描述微观粒子运动状态的波函数首先必须是单值的，因为只有当波函数在空间每一点只有一个值时，才能保证概率密度的单值性；至于连续的要求是由于粒子运动状态要符合Schr?dinger方程，该方程是二阶方程，就要求波函数具有连续性的特点；平方可积的是因为在整个空间中发现粒子的概率一定是100% ，所以积分*d必为一个有限数。螂蚁56 蒈 如何理解态叠加原理？肇参考答案薄在经典理论中，一个波可由若干个波叠加组成。这个合成的波含有原来若干波的各种成份（如各种不同的波长和频率）。而在量子力学中，按波函数的统计解释，态叠加原理有更深刻的含义。某一物理量 Q的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒子部分地处于 Q1状态，部分地处于 Q2态， 。各种态都有自己的权重（即成份）。这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。但量子力学可以计算出测量的平均值。78 蒀 测不准原理的根源是什么？薈参考答案膄根源就在于微观粒子的波粒二象性。910 羂 铝的逸出功是4.2eV，用 2000?的光照射时，问（a）产生的光电子动能是多少？(b) 与其相联系的德布罗依波波长是多少？ (c)如果电子位置不确定量与德布罗依波波长相当，其动量不确定量如何？艿参考答案蚇 (a) 根 据 爱 因 斯 坦 光 电 方 程h1 2m 2W ，又c，得光电子动能：T 1 2m2h cW6.62610 3431084.21.610 19200010 10薅 9.939 10 19 6.72 10 19 3.219 10 19 J蚄 (b)由德布罗依关系式，相应的物质波波长为hh6.62610 34P2mT2 9.1 10 313.219 10 196.62610 34羀7.546 10 25 8.781 10 10 m蒅 (c) 由不确定关系式xPxh ，若位置不确定量x，则动量不确定量蚄h6.62610PxP108.781347.546 10 25 Kg m s10衿蝿1112 薅 波函数 e-x(0 x)是否是合格波函数，它归一化了吗？如未归一化，求归一化常数。膅参考答案薁 没有归一化，归一化因子为2薇1314 蚅 一个量子数为 n，宽度为 l 的一维势箱中的粒子， 在 01/4 的区域内的几率是多少？n 取何值时几率最大？当n时，这个几率的极限是多少？薅参考答案聿薀螅一维势阱中粒子可用波函数n( x)2 l sin( n ) x 来描述。ll211sin n蚂（1） wn04dx42n2n 34k(k 1,2,3.)时,螁（2）s i nn1, wmax112461（3）w荿41516螅函数( x) 32sinx 22sin2x 是不 是llll一维势箱中粒子的可能状态？如果是，其能量有无确定值？如果有，是多少？如果能量没有确定值，其平均值是多少？肃参考答案蒃根据态叠加原理， (x) 是一维势箱中粒子一个可能状态。能量无确定值。25 h2 肈平均值为 104 ml 2袄对状态，若能量有确定值，则应?E ，E 为常数。又对一维势阱粒子本H征态?n 有 H n En n 。蒄?2 2113E2 2？HH(2132)2H1 3HEn2 22n2 h2，由此可知 E1E2 。所以袁一 维势 阱中 粒 子能 量为 En222ml8ml?，不是能量本征态，能量无确定值。HE袇 (3) 该状态能量平均值为?a(23?3 2 )dx1* H dz2)H(2 1E0*dza( 213 2)(2 13 2 ) dx羄0？a(2132)(2E113E22 )dx0a(4212 1920122) dx（注：同一算符的本征函数有正交归一性，即a*袅0mn dxSmn ）Snm 1m n,0m n蚃a22(4E1 16E1126E2 1 2 9E2 2 )dx0409袀=4E1009E21312 h222 h 242925h2肄=8ma8ma1313ma 2羂1718 肁 在这些算符， , exp,ddx 中，那些是线性算符？虿参考答案和d膄dx莃是线性算符 .19220 螃 下列函数 , 那些是 dxd2的本征函数 ?并求出相应的本征值。蒈 (a) eimx22(b) sinx (c) x +y(d)-x(a-x)e蒈参考答案2螄 (a) 和 (b) 是 dxd2 的本征函数，其相应的本征值分别为 -m2和-1。2122?芀有算符 Dd dx, X X ,求 ?。蒁DXXD薈参考答案膄根据算符之积的定义?(DXXD ) f ( x)d dx Xf (x) Xd drf ( x)羂f (x)?D Xf ( x)X Df (x)X d drf (