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最新精品数学资料巧用勾股定理解决几何问题 一、勾股定理在解决几何问题中的应用技巧1. 构造直角三角形根据题意,合理构造直角三角形,比如等腰三角形中的求值或面积问题,经常作高构造直角三角形。如:在ABC中,AB=AC=5,BC=8,求三角形ABC的面积。 答案:12。2. 利用勾股定理列方程将三角形的边用同一未知数表示,列出方程,解出所求值。(1)在翻折问题中,大多数求值都是这种应用如:如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,AD=6,折叠纸片使AD边与对角线BD重合,折痕为DG,则AG的长为多少? 答案:3。(2)求折断物体长度时,使用方程如:一根竹子高10尺,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处,折断处离地面高度是多少?答案:尺。3. 分类讨论思想已知一个直角三角形的两边长,并没有指明是直角边还是斜边,因此要分类讨论。如:已知一个直角三角形的两边长是和,求第三边的长。答案:5cm或cm。4. 数形结合思想几何与代数问题的综合。如:在一棵树的5米高处有两只猴子,其中一只爬下树走向离树10米的池塘,而另一只爬到树顶后直扑池塘,如果两只猴子经过的距离相等,问这棵树有多高?答案:7.5米。二、特殊几何图形中的勾股定理计算规律1. 含有30角的直角三角形(1)30角所对的直角边是斜边的一半;(2)60角所对的直角边是30角所对直角边的倍。2. 等边三角形高等于边长的倍。总结:(1)勾股定理的几何应用是学习的重点内容,要在直角三角形中灵活运用。(2)要有意识的训练自己辅助线的添加,经常性的思考不同问题的不同添加法。例题 A1A2B是直角三角形,且A1A2=A2B=a,A2A3A1B,垂足为A3,A3A4A2B,垂足为A4,A4A5A3B,垂足为A5,An+1An+2AnB,垂足为An+2,则线段An+1An+2(n为自然数)的长为()A. B. C. D. 解析:先根据勾股定理及等腰三角形的性质求出A2A3及A3A4的长,找出规律即可解答答案:A1A2B是直角三角形,且A1A2=A2B=a,A2A3A1B,A1B=,A1A2B是等腰直角三角形, A2A3=A1A3=A1B=,同理,A2A3B是等腰直角三角形,A2A3=A3B=,A3A4A2B,A2B=a,A3A4=A2A4=A1B=,线段An+1An+2(n为自然数)的长为故选A。点拨:规律性题目,涉及到等腰三角形及直角三角形的性质,解答此题的关键是求出A2A3及A3A4的长,并找出规律分类讨论求值近年来,在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见,因为这类试题不仅考查同学们的数学基本知识与方法,而且考查了同学们思维的深刻性。在解决此类问题时,因考虑不周全导致失分的较多,究其原因主要是平时的学习中,尤其是在中考复习时,对“分类讨论”的数学思想渗透不够。所以同学们要充分考虑不同情况下的求值。例题 在ABC中,AB=13,AC=15,BC边上的高AD=12,则边BC的长是()A. 14 B. 4 C. 14或4 D. 解析:分两种情况讨论:锐角三角形和钝角三角形,根据勾股定理求得BD、CD,再由图形求出BC,在锐角三角形中,BC=BD+CD,在钝角三角形中,BC=CD-BD答案:解:(1)如图,锐角ABC中,AB=13,AC=15,BC边上高AD=12, 在RtABD中AB=13,AD=12,由勾股定理得:BD2=AB2-AD2=132-122=25,则BD=5,在RtACD中AC=15,AD=12,由勾股定理得:CD2=AC2-AD2=152-122=81,则CD=9,故BC的长为BD+DC=9+5=14; (2)钝角ABC中,AB=13,AC=15,BC边上高AD=12, 在RtABD中AB=13,AD=12,由勾股定理得:BD2=AB2-AD2=132-122=25,则BD=5,在RtACD中AC=15,AD=12,由勾股定理得:CD2=AC2-AD2=152-122=81,则CD=9,故BC的长为DC-BD=9-5=4综上可得BC的长为14或4故选C(1) (2)生活中的勾股定理方案设计在实际生活中应用勾股定理。例题 某园艺公司对一块直角三角形的花园进行改造,测得两直角边长分别为a=6米,b=8米现要将其扩建成等腰三角形,且扩充部分是以b为直角边的直角三角形,则扩建后的等腰三角形花圃的周长为()米A. 32或20+4 B. 32或36或 C. 32或或20+4 D. 32或36或或20+4解析:由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定,若设扩充所得的三角形是ABD,则应分为AB=AD,AD=BD两种情况进行讨论答案:解:如图所示:在RtABC中,AC=8m,BC=6m,AB=10m,如图1,当AB=AD时,DC=BC=6m,此时等腰三角形花圃的周长=10+10+6+6=32(m);如图2:当AD=BD时,设AD=BD=x(m);RtACD中,BD=x(m),CD=(x-6)m;由勾股定理,得AD2=DC2+CA2,即(x-6)2+82=x2,解得x=;此时等腰三角形绿地的周长=2+10=(m)当AB=BD时,在RtACD中,AD=4,等腰三角形绿地的周长=210+4=20+4(m)故选C(答题时间:45分钟)一、选择题1. 观察以下几组勾股数,并寻找规律:4,3,5;6,8,10;8,15,17;10,24,26;,根据以上规律的第组勾股数是()A. 14、48、49 B. 16、12、20 C. 16、63、65 D. 16、30、342. 如图,一个长为10米的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8米,如果梯子的顶端下滑1米,那么梯子的底端的滑动距离()A. 等于1米 B. 大于1米 C. 小于1米 D. 不能确定*3. 已知ABC是斜边长为1cm的等腰直角三角形,以RtABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰RtACD,再以RtACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰RtADE,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是()A. cm B. cm C. 2ncm D. cm*4. 如图所示,一只小蚂蚁从棱长为1的正方体的顶点A出发,经过每个面的中心点后,又回到A点,蚂蚁爬行最短程S满足()A. 5S6 B. 6S7 C. 7S8 D. 8S9*5. 如图,ABC是等腰直角三角形,BAC=90,点D、E在BC上,且DAE=45,现将ACE绕点A旋转至ABE处,连接DE和EE,则下列结论中ABDEADE=BAEAEE是等腰直角三角形ADEEBD2+CE2=DE2正确的有()A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二、填空题:*6. 如图,一牧童在A处放羊,牧童的家在B处,A、B距河岸的距离AC、BD分别为500m和700m,且C、D两地相距500m,天黑前牧童要将羊赶往河边喝水再回家,那么牧童至少应该走 1300m*7. 如图,为安全起见,幼儿园打算加长滑梯,将其倾斜角由45降至30已知滑梯AB的长为3m,点D、B、C在同一水平地面上,那么加长后的滑梯AD的长是 m*8. 勾股定理是初等几何中的一个基本定理这个定理有十分悠久的历史,两千多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣,我国古代三国时期吴国的数学家赵爽创造的弦图,是最早证明勾股定理的方法,所谓弦图是指在正方形的每一边上各取一个点,再连接四点构成一个正方形,它可以验证勾股定理在如图的弦图中,已知:正方形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正方形ABCD的边DA、AB、BC、CD上若正方形ABCD的面积=16,AE=1;则正方形EFGH的面积= *9. 图(1)是一个面积为1的正方形,经过第一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中三个正方形围成的三角形是直角三角形,如图(2);经过第2次“生长”后变成图(3),经过第3次“生长”后变成图(4),如果继续“生长”下去,它将变得更加“枝繁叶茂”,这就是美丽的“勾股树”已知“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和存在一定的变化规律,请你利用这一规律求:经过第一次“生长”后的所有正方形的面积和为_,经过第10次“生长”后,图中所有正方形的面积和为: 三、解答题:*10. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图1)图2由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3,若S1+S2+S3=10,则S2的值是多少?*11. 已知:如图,点O是等腰直角ABC斜边AB的中点,D为BC边上任意一点操作:在图中作OEOD交AC于E,连接DE探究OD、BD、CD三条线段之间有何等量关系?请探究说明*12. 如图,平面直角坐标系xoy中,A(1,0)、B(0,1),ABO的平分线交x轴于一点D (1)求D点的坐标; (2)如图所示,A、B两点在x轴、y轴上的位置不变,在线段AB上有两动点M、N,满足MON=45,下列结论BM+AN=MN,BM2+AN2=MN2,其中有且只有一个结论成立,请你判断哪一个结论成立,并证明成立的结论(1) (2)1. C 解析:根据题目给出的前几组数的规律可得:这组数中的第一个数是2(n+1),第二个是:n(n+2),第三个数是:(n+1)2+1,故可得第组勾股数是16,63,65故选C2. B 解析:如图,AC=EF=10米,AB=8米,AE=1米,求CF;B=90,由勾股定理得,BC=6米,又AE=1米,BE=7米,EF=10米,由勾股定理得,BF=米,即7,-61故选B3. B 解析:等腰直角三角形的斜边长为直角边长度的倍,第二个(也就是ACD)的斜边长:1=;第三个,直角边是第一个的斜边长,所以它的斜边长:=()2;第n个,直角边是第(n-1)个的斜边长,其斜边长为:()n1故选B4. B解析:正方体展开图形为:则蚂蚁爬行最短程S=5+=5+即6S7故选B5. D 解析:(1)ABC是等腰直角三角形,BAC=90,ABC=C=45,ADE=ABC+BAD,BAE=DAE+BAD,DAE=45,ADE=BAE;正确。(2)ACE绕点A旋转至ABE处,AE=AE,EAC=EAB,BAC=90,EAB +BAE=90,EAB+BAE=90,AEE是等腰直角三角形;正确。(3)DAE=45,BAC=90,EAC+BAD=45,EAC=EAB,DAE=EAD=45,AEE是等
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