福建省宁德市2020学年高二数学下学期期末考试试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，有且只有一个项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过A和B，然后交集运算即可得到答案.【详解】因，所以,故选B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，难度很小.2.已知是虚数单位，复数（ ）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】通过完全平方公式，计算即可得到答案.【详解】，故选B.【点睛】本题主要考查复数的基本运算，难度很小.3.设函数，则（ ）A. B. C. 1D. 3【答案】A【解析】【分析】通过判断可得到，再通过得到答案.【详解】由于，故，而，所以，故选A.【点睛】本题主要考查分段函数的运算，难度较小.4.若曲线在点处的切线与直线平行，则实数（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】通过导函数求得，从而知道切线斜率，建立方程即可得到答案.【详解】由于,所以，所以，又切线与直线平行，所以，即，故选D.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，直线平行的条件，难度较小.5.下列命题中的假命题是（ ）A. B. C. D. 虚数单位，为虚数【答案】C【解析】【分析】通过ABCD选项逐一判断即可.【详解】对于A选项，显然，故A为真命题；对于B选项，当时，故B为真命题；对于C选项,当时，故C为假命题；对于D选项，为虚数单位，为虚数，故D为真命题，故答案为C.【点睛】本题主要考查真假命题的判断，意在考查学生的分析能力及逻辑推理能力，难度不大.6.已知函数，的零点依次为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通过零点的定义可确定a,b,c的值，从而判断其大小.【详解】由题意得，故，故，故，因此，故选C.【点睛】本题主要考查零点的求解，无理数的大小判断，难度不大.7.中华文化博大精深。我国古代对年龄的表述可谓是名目繁多，比如“二八年华”指女子16岁。乾隆曾出上联“花甲重逢，外加三七岁月”，纪晓岚对下联“古稀双庆，更多一度春秋”，暗指一位老人的年龄。根据类比思想和文化常识，这位老人的年龄为（ ）A. 71岁B. 81岁C. 131岁D. 141岁【答案】D【解析】【分析】通过常识“花甲”是60岁，“三七岁月”是21年，“古稀”是70岁，“一个春秋”是一年便可以计算出老人的年龄.【详解】“花甲”是60岁，“三七岁月”是21年，“古稀”是70岁，“一个春秋”是一年.这位老人的年龄应是或.故选D.【点睛】本题是对古代文化常识的考查.解答本题要先理解对联的意思，并且对表示年龄的词语要知道具体代表多少岁.8.函数的大致图像是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性排除C,D选项，再代入特殊值即可得到答案.【详解】由于为奇函数，图像关于原点对称，故排除CD选项，而，故选B选项.【点睛】本题主要考查函数的性质与图像，做函数图像题的基本步骤：先判断函数的奇偶性，再带特殊值.9.不等式在上恒成立的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当不等式x2-x+m0在R上恒成立时,有=(-1)2-4m.因此当不等式x2-x+m0在R上恒成立时,必有m0,但当m0时,不一定推出不等式在R上恒成立,故所求必要不充分条件是m0.10.已知函数是定义在上的奇函数，且，当，则等于（ ）A. B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】先通过，确定函数周期，因此，故求对应项即可.【详解】由于，故函数，又是定义在上的奇函数，所以，又因为当，所以，所以，故选D.【点睛】本题主要考查函数的基本性质：周期性，奇偶性.意在考查学生的逻辑推理能力和分析能力，难度不大.11.已知奇函数在区间上满足：，且，则不等式的解集为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】通过构造函数，确定新函数为偶函数和增函数，从而脱离f求得解集.【详解】由题意可令，则为偶函数.当时，则为增函数，等价于即,于是，所以，而，故不等式解集为，故选A.【点睛】本题主要考查构造函数的相关性质：奇偶性和增减性，利用函数性质求不等式的解集，意在考查学生的分析能力和计算能力.12.已知与的图像上存在两对关于直线对称的点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先知道反函数的图像关于直线对称，于是可将问题转化为函数与有两个交点，分别讨论和两种情形下的情况，可求出极端位置，两函数相切情况，由此得到答案.【详解】由于与的图像上存在两对关于直线对称的点，则可转化为函数与有两个交点，当时，显然不成立；当时，设二次函数与相切于，满足由二次函数的的几何意义可知，即选B.【点睛】本题主要考查反函数的相关概念，函数图像的交点与零点问题，利用导函数解决相切问题等，意在考查学生的分析能力及计算能力，转化能力，难度较大.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置13.已知幂函数的图像过点，则的定义域是_.【答案】【解析】【分析】通过函数经过点代入得到，从而得到函数定义域.【详解】由于经过点，代入得，所以的定义域是.【点睛】本题主要考查幂函数的相关定义域，难度不大.14.甲、乙、丙三位同学中只有一人会拉小提琴，甲说：我会；乙说：我不会；丙说：甲不会；如果这三人中有且只有一人说真话，由此可判断会拉小提琴的是_【答案】乙【解析】【分析】通过分别判断甲乙丙为真话得到相应情况，看是否符合题意从而得到答案.【详解】假如甲说的是真话，则甲会拉钢琴，于是乙说的也是真话，矛盾；假如乙说的是真话，则甲说的是假话，甲也不会，于是丙会拉钢琴，则丙说的是真话与一人说真话矛盾；假如丙说的是真话，于是甲说的是假话，则乙也说的假话，所以乙会，符合题意.故答案是乙.【点睛】本题主要考查逻辑推理能力，阅读理解能力，意在考查学生的分析能力.15.（1）在极坐标系中，已知两点的极坐标分别为，则（其中为极点）的面积_（2）函数的最小值为_【答案】 (1). 1 (2). 1【解析】【分析】(1)直接结合极坐标的几何意义和面积公式直接得到结果.(2)分类讨论和的函数解析式，从而判断最小值.【详解】（1）由题意得；（2）当时，当时，因此综上所述，最小值为1.【点睛】本题主要考查面积公式，极坐标的几何意义，分段函数最值，意在考查学生的分析能力及转化能力，难度不大.16.已知函数，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】由于函数为复合函数，先将函数转化为，具有奇函数和减函数的相关性质，从而脱离f解不等式的解集.【详解】由于，可设，显然为奇函数，则为减函数，不等式转化为，则解得，所以不等式的解集为.【点睛】本题主要考查构造函数的性质：奇偶性，单调性，利用性质解不等式，意在考查学生的分析能力，逻辑推理能力，难度中等.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.已知复数在复平面上的对应点在第四象限.（）求实数的取值集合；（）若集合，求.【答案】（）；（）【解析】【分析】（）由于复数在复平面上的对应点在第四象限，因此从而得到答案;（）由得,解得集合，从而求得.详解】（）依题意， 解得， 即.（）由得， 即，化简得 解得：，即，所以故【点睛】本题主要考查复数的几何意义，集合的相关运算，意在考查学生对于基础知识概念的掌握，难度不大.18.已知函数，且，.（）求的值；（）若在上单调递增，求的取值范围.【答案】（）；（）【解析】【分析】（）由，可得到答案；（）由（）知，当时，所以在上单调递增； 要使在上单调递增，必须且只须在上单调递增，即，且，综合可得到的取值范围.【详解】（）， ，解得 （）由（）知，当时，所以在上单调递增； 要使在上单调递增，必须且只须在上单调递增，即，且，即，解得：；所以的取值范围是【点睛】本题主要考查分段函数参数的求值，含参函数单调性问题，意在考查学生的分析判断能力及转化能力，难度较大.19.已知函数，若在处取得极值.（）求实数的值及的单调区间；（）若方程有且只有一个根，求实数的取值范围.【答案】（）单调递增区间为和，单调递减区间为；（）【解析】【分析】（）,则，在处取得极值得到，从而作出的增减表，从而得到单调区间；（）由()知的极大值和极小值，从而得到答案.【详解】（） 由已知，经检验符合题意 令得或当变化时，的变化如下表：极大值极小值由上表知，的单调递增区间为和，单调递减区间为.（）由()知的极大值为，的极小值为，要使方程有且只有一个根，等价于或，所以实数的取值范围是【点睛】本题主要考查函数单调区间的计算，极值的计算及理解，使方程有且只有一个根，转化为或是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力和分析能力.20.“绿水青山就是金山银山”。随着经济的发展，我国更加重视对生态环境的保护，2020年起，政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭。一段时间内，鸡蛋的价格起伏较大（不同周价格不同）。假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为元、元（单位：kg）；甲、乙两人的购买方式不同：甲每周购买3kg鸡蛋，乙每周购买10元钱鸡蛋.（）若，求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格；（）判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠（平均价格低视为实惠），并说明理由.【答案】（） ；（）见解析【解析】【分析】（）因此甲两周购买鸡蛋的平均价格为， 乙两周购买鸡蛋的平均价格为；（）证法一：（比较法）：直接作差与0比较大小即可；证法二（分析法）：依题意，且，要证： 等价于证明，再转化为即可.【详解】（） 甲两周购买鸡蛋的平均价格为， 乙两周购买鸡蛋的平均价格为，（）甲两周购买鸡蛋的平均价格为， 乙两周购买鸡蛋的平均价格为，由（）知，时，乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，猜测乙的购买方式更实惠。证法一（比较法）：依题意，且，所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，即乙的购买方式更实惠。证法二（分析法）：依题意，且，要证： ，只需证：只需证：只需证：（已知）。所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低，即乙的购买方式更实惠。【点睛】本题主要考查不等式的实际应用，意在考查学生的分析能力和逻辑推理能力，只要熟练掌握不等式的相关性质，在处理中还是比较轻松.21.已知函数（）讨论的单调性；（）当时，