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三角恒等变换问题三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点,是求三角函数极值与最值的一个过渡步骤,有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角 的一个三角函数形式,其中化简的过程就用到三角恒等变换, 常考的题型及解析总结如下,供大家参考。例1 (式的变换-两式相加减,平方相加减)11亠,sin cos 一求 sin(23已知cos sin)的值解:两式平方得,cos 2cos sin sin2两式相加得,2 2(cos sin sin cos141336化简得,即 sin(输方法评析:? 1、? 2、?3、?4、?5、例2 (角的变换59sin( )79)5972式的变换包括:tan( a3 )公式的变用齐次式“ 1的运用(1 sin a , 1 cos a凑完全平方) 两式相加减,平方相加减 一串特殊的连锁反应(角成等差,连乘) -已知角与未知角的转化)已知sin( )47,27,cos 2,求 sin 及 tan(1025解:由题设条件,应用两角差的正弦公式得7 2、2si n( ) (sin1042cos),即 sincos有关三角恒等变换由题设条件,应用二倍角余弦公式得535故 cos sin由和式得sincos是tan故 tan(tantan 331 v3ta n48 25.311方法评析:1.本题以三角函数的求值问题考查三角变换能力和运算能力,可从已知角和所求角的内在联系(均含)进行转换得到.以防出现多解或漏解2.在求三角函数值时, 必须灵活应用公式, 注意隐含条件的使用,的情形.例3 (合一变换-辅助角公式)设关于 x的方程 sin x . 3 cosx a0在(0,2 )内有相异二解和.求a的取值范围三cosx) 2sin( x -)23 1解: t sin x 3 cosx 2( sinx2方程化为sin(x )方程 sin x3 cosxa 0在(0,2 )内有相异二解, s(x i)sin 3又 sin(x )31 (等于3和1时仅有一解),21且 -i乜即2a的取值范围是(2,矶(3,2).(0, 2 )这一条件.方法评析:要注意三角函数实根个数与普通方程的区别,这里不能忘记例4 (, 一题多解型)右cos2sin5,求 tan 的值解:方法一:(T的运用)将已知式两端平方得方法二:(合一变换)5sin5,其中+ 1 tan2再由sin1知,2k - kZ ,所以2k22 ,sin 所以tantan 2ktan2cos222cos sin2方法三:(式的变换)令sin 2cost,和已知式平方相加得 5 5 t2,故t 0,即 sin 2cos 0,故 tan 2 .方法四:(与单位圆结合)我们可以认为点 M cos ,sin 在直线x 2y 、5上,的.而点M又在单位圆x2y21上,解方程组可得52 一 5,5从而tany 2 这个解法和用方程组xCOs 2 2sin 2 f求解实质上是一致sin cos 1方法评析:本题考查利用三角恒等变换求值的能力,试题的根源是考生所常见的已知1sin cos ,0,求tan 的值(人教A版必修4第三章复习题 B组最后5一题第一问)”之类的题目,背景是熟悉的,但要解决这个问题还需要学生具有相当的知识 迁移能力.有关三角恒等变换的一般解题思路为 “五遇六想”,即:遇正切,想化弦;遇多元, 想消元;遇差异,想联系;遇高次,想降次;遇特角,想求值;想消元,弓I辅角
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