长春市普通高中2018届高三质量监测（三） 数学文科一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】.故选：B2. 若复数，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】，故选：A3. 在等差数列中，为前项和，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】由. 故选：A.4. 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指孙子算经中记载的算筹.古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推.例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则8771 用算筹可表示为，故选：C5. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,则的值可以为A. B. C. D. 【答案】B【解析】将函数的图象向右平移个单位得到函数，故选：D.6. 函数的部分图象大致为A. B. C. D. 【答案】D【解析】由函数是偶函数，排除A，C，当，.排除B故选：D.点睛：识图常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题7. 如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数,那么空白框中的语句及最后输出的值分别是A. 和 B. 和C. 和 D. 和【答案】D【解析】空白框中n依次加2可保证其为偶数，排除A，C时，时，所以D选项满足要求故选：D8. 在等比数列中，为的前项和，若，则其公比为A. B. C. D. 【答案】A【解析】当公比时，显然不适合题意， . . . .故选：A.9. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可知该几何体为正三棱柱去掉一个小三棱锥，.故选：B. 10. 已知，设函数的图象在点处的切线为，则在轴上的截距为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意可知,a，令.故选:B.11. 已知边长为的等边三角形，为的中点，以为折痕，将折起，使，则过四点的球的表面积为A. B. C. D. 【答案】C【解析】折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为， 故其外接球的半径为，其表面积为.故选:C.点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2a2b2c2求解12. 已知双曲线的两个焦点分别为和，若其右支上存在一点满足，使得的面积为，则该双曲线的离心率为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由双曲线可知，从而.故选：B.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 设实数满足约束条件，则的最大值为_.【答案】9【解析】作出可行域，如图：由可行域可确定目标函数在处取最大值故答案为：9点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14. 已知、取值如下表：画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则的值为_.（精确到）【答案】1.7【解析】将代入回归方程为可得，则，解得，即精确到0.1后的值约.故答案为：1.715. 已知函数，若，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】当，当，故.故答案为：点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围16. 已知菱形的一条对角线长为2，点满足，点为的中点，若，则_【答案】【解析】.如图建立平面直角坐标系，设，解得：.故答案为：-7三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知的内角的对边分别为，若，且，.（1）求角；（2）求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由结合正弦定理及两角和正弦公式得到角；（2）由，由余弦定理可得，结合均值不等式可得，从而得到面积的最大值.试题解析：（1）由可得 故（2）由，由余弦定理可得，由基本不等式可得，当且仅当时，“=”成立从而，故面积的最大值为.18. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示 （1）求出的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；（3）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求这2组恰好抽到2人的概率【答案】（1）（2）平均数为41.5，中位数为（3）【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图可得的值；（2）平均数为；岁；设中位数为，则 岁；（3）第1,2,3组的人数分别为20人,30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人,3人，分别记为. 设从5人中随机抽取3人，共10个基本事件，从而得到第2组中抽到2人的概率.试题解析：（1）由，得.（2）平均数为；岁；设中位数为，则 岁.（3）第1,2,3组的人数分别为20人,30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人,3人，分别记为. 设从5人中随机抽取3人，为，共10个基本事件，从而第2组中抽到2人的概率.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.19. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，分别是线段，的中点，（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：(1)取中点，连接,易证四边形为平行四边形，从而，所以平面；（2）平面,到平面的距离等于到平面的距离,利用等体积法构建所求距离的方程即可.试题解析：（1）取中点，连接分别是中点, ,为中点，为正方形，,四边形为平行四边形平面，平面，平面（2）平面,到平面的距离等于到平面的距离,平面，, ,在中，平面，, , , 平面 ，,则为直角三角形， ,设到平面的距离为，则 到平面的距离.20. 在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.(1)求动圆圆心的轨迹的方程；(2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于,两点，求四边形面积的最大值.【答案】(1) (2)6【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心的轨迹的方程；（2）设的方程为，联立可得，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可.试题解析：(1)设动圆的半径为，由题意知从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆，并去 除点，从而轨迹的方程为.（2）设的方程为，联立，消去得，设点，有则，点到直线的距离为，点到直线的距离为，从而四边形的面积令，有，函数在上单调递增，有，故，即四边形面积的最大值为.21. 已知函数，（）（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）已知，是函数的两个零点，且，求证：【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：(1) 令，求出的最大值，令其小于等于零，即可求出实数的取值范围；（2）由（1）可知，若函数 有两个零点，则，要证，只需证，由于在上单调递减，从而只需证.试题解析：（1）令，有，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最大值，为，若恒成立，则即.（2）由（1）可知，若函数 有两个零点，则，要证，只需证，由于在上单调递减，从而只需证，由，即证令，有在上单调递增，所以.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修44：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，：.（1）求与的交点的极坐标；（2）设点在上，求动点的极坐标方程.【答案】(1) (2) 试题解析：（1）联立， 交点坐标.（2）设，且 ，由已知得 ，点的极坐标方程为. 23. 选修45：不等式选讲.已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2) 对于，都有恒成立，求的取值范围.【答案】(1) (2) 【解析】试题分析：（1）对x分类讨论，得到三个不等式组，分别解之，最后求并集即可；（2）对于，都有恒成立，转化为求函数的最值问题即可.试题解析：（1）当时，