第4章 不定积分内容概要名称主要内容不定积分不定积分的概念设， ，若存在函数，使得对任意均有 或，则称为的一个原函数。的全部原函数称为在区间上的不定积分，记为注：（1）若连续，则必可积；（2）若均为的原函数，则。故不定积分的表达式不唯一。性质性质1：或；性质2：或；性质3：，为非零常数。计算方法第一换元积分法（凑微分法）设的 原函数为，可导，则有换元公式：第二类换元积分法设单调、可导且导数不为零，有原函数，则 分部积分法有理函数积分若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。本章的地位与作用在下一章定积分中由微积分基本公式可知-求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！(1)思路: 被积函数 ，由积分表中的公式（2）可解。解：(2)思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：(3)思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：(4)思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：(5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：(6)思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)思路:分项积分。解：(8)思路:分项积分。解：(9)思路:？看到，直接积分。解：(10)思路:裂项分项积分。解：(11)解：(12)思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然。解：(13)思路:应用三角恒等式“”。解：(14)思路:被积函数 ，积分没困难。解：(15)思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。解：(16)思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。解：(17)思路:不难，关键知道“”。解：(18)思路:同上题方法，应用“”，分项积分。解：(19)思路:注意到被积函数 ，应用公式(5)即可。解：(20)思路:注意到被积函数 ，则积分易得。解：2、设，求。知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：直接利用不定积分的性质1：即可。解：等式两边对求导数得：3、设的导函数为，求的原函数全体。知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。思路分析：连续两次求不定积分即可。解：由题意可知，所以的原函数全体为：。4、证明函数和都是的原函数知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：只需验证即可。解：，而5、一曲线通过点，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。解：设曲线方程为，由题意可知：，；又点在曲线上，适合方程，有，所以曲线的方程为6、一物体由静止开始运动，经秒后的速度是，问：（1） 在秒后物体离开出发点的距离是多少？（2） 物体走完米需要多少时间？知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。解：设物体的位移方程为：，则由速度和位移的关系可得：，又因为物体是由静止开始运动的，。(1) 秒后物体离开出发点的距离为:米；(2)令秒。习题4-21、填空是下列等式成立。知识点：练习简单的凑微分。思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。解：2、求下列不定积分。知识点：（凑微分）第一换元积分法的练习。思路分析：审题看看是否需要凑微分。直白的讲，凑微分其实就是看看积分表达式中，有没有成块的形式作为一个整体变量，这种能够马上观察出来的功夫来自对微积分基本公式的熟练掌握。此外第二类换元法中的倒代换法对特定的题目也非常有效，这在课外例题中专门介绍！（1）思路:凑微分。解：(2)思路:凑微分。解：(3)思路:凑微分。解：(4)思路:凑微分。解：(5)思路:凑微分。解：(6)思路:如果你能看到，凑出易解。解：(7)思路:凑微分。解：(8)思路:连续三次应用公式(3)凑微分即可。解：(9)思路:本题关键是能够看到 是什么，是什么呢？就是！这有一定难度！解：(10)思路:凑微分。解：方法一：倍角公式。方法二：将被积函数凑出的函数和的导数。方法三： 三角公式，然后凑微分。 (11)思路:凑微分：。解：(12)思路:凑微分。解：(13)思路:由凑微分易解。解：(14)思路:凑微分。解：(15)思路:凑微分。解：(16)思路:凑微分。解：(17)思路:经过两步凑微分即可。解：(18) 思路:分项后分别凑微分即可。解：(19) 思路:裂项分项后分别凑微分即可。解：(20)思路:分项后分别凑微分即可。解：(21)思路:分项后分别凑微分即可。解：(22)思路:裂项分项后分别凑微分即可。解：(23)思路:凑微分。解：(24)思路:降幂后分项凑微分。解：(25)思路:积化和差后分项凑微分。解：(26)思路:积化和差后分项凑微分。解：(27)思路:凑微分。解：(28)思路:凑微分。解：(29)思路:凑微分。解：(30)思路:凑微分。解：(31)思路:被积函数中间变量为，故须在微分中凑出，即被积函数中凑出，解：(32)思路:解：(33)解：方法一：思路:将被积函数的分子分母同时除以 ，则凑微分易得。方法二：思路:分项后凑微分 方法三：思路: 将被积函数的分子分母同时乘以 ，裂项后凑微分。 (34)解：方法一: 思路：分项后凑积分。 方法二：思路:利用第二类换元法的倒代换。令，则。(35)解：方法一: 思路：分项后凑积分。 方法二： 思路: 利用第二类换元法的倒代换。令，则。3、求下列不定积分。知识点：（真正的换元，主要是三角换元）第二种换元积分法的练习。思路分析：题目特征是-被积函数中有二次根式，如何化无理式为有理式？三角函数中，下列二恒等式起到了重要的作用。为保证替换函数的单调性，通常将交的范围加以限制，以确保函数单调。不妨将角的范围统统限制在锐角范围内，得出新变量的表达式，再形式化地换回原变量即可。(1)思路:令，先进行三角换元，分项后，再用三角函数的升降幂公式。解：令，则。（或）（万能公式，又时，）(2)思路:令，三角换元。解：令，则。 （时，）(3) 思路:令，三角换元。解：令，则。(4)思路:令，三角换元。解：令，则。(5)思路:先令，进行第一次换元；然后令，进行第二次换元。解：，令得：，令，则，（与课本后答案不同）(6)思路:三角换元，关键配方要正确。解：，令，则。4、求一个函数,满足，且。思路:求出的不定积分，由条件确定出常数 的值即可。解：令，又，可知，5、设，求证：，并求。思路:由目标式子可以看出应将被积函数 分开成，进而写成：，分项积分即可。证明：习题4-31、 求下列不定积分：知识点：基本的分部积分法的练习。思路分析：严格按照“反、对、幂、三、指顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。 （1）思路:被积函数的形式看作，按照“反、对、幂、三、指”顺序，幂函数优先纳入到微分号下，凑微分后仍为。解：（2）思路：同上题。解：（3）思路：同上题。解：(4)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(5)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解： (6)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解： (7)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(8)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(9)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解： (10)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解： (11)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(12)思路：详见第(10) 小题解答中间，解答略。(13)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(14)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(15)思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(16)思路： 将积分表达式写成，将看作一个整体变量积分即可。解： (17) 思路：严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(18)思路：先将降幂得，然后分项积分；第二个积分严格按照“反、对、幂、三、指”顺序凑微分即可。解：(19)思路：分项后对第一个积分分部积分。解：(20)思路：首先换元，后分部积分。解：令，则(21)