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2003南开大学年数学分析一、 设其中有二阶连续偏导数,求解:令u=x+y,v=x-y,z=x则;二、 设数列非负单增且,证明解:因为an非负单增,故有由;据两边夹定理有极限成立。三、 设试确定的取值范围,使f(x)分别满足:(1) 极限存在(2) f(x)在x=0连续(3) f(x)在x=0可导解:(1)因为=极限存在则2+知(2)因为=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则(3)所以要使f(x)在0可导则四、设f(x)在R连续,证明积分与积分路径无关解;令U=则=又f(x)在R上连续故存在F(u)使dF(u)=f(u)du=所以积分与路径无关。 (此题应感谢小毒物提供思路)五、 设f(x)在a,b上可导,且,证明证:因f(x)在a,b可导,则由拉格朗日中值定理,存在整理为word格式即有六、设单减而且收敛于0。发散a) 证明b) 证明其中;证:(1)因为而单减而且收敛于0据狄利克莱判别法知(2)因为正项级数发散则又由上题知故有七、设证明(1)在一致收敛(2) 在连续证:(1)因收敛(可由狄利克莱判别法判出)故在t=0上一致收敛;又在x=1,t=0单调且一致有界由阿贝尔判别法知一致收敛整理为word格式(2)由上题知,F(t)在一致收敛,且由在(x,t)上连续知F(t)在连续所以在连续,由的任意性得证八、令是a,b上定义的函数列,满足(1)对任意是一个有界数列(2)对任意,存在一个求证存在一个子序列在a,b上一致收敛证:对任意,是一个有界数列故由致密性定理存在一收敛子列,设为,又令U=则U为a,b的一个开覆盖集,由有限覆盖定理,存在有限个开区间覆盖a,b,不妨设为于是对0,有令则由条件(2)知对上述于是+由柯西准则得证。2004年南开大学数学分析试题答案整理为word格式1. 2. ,=3.即证明,即证设,证完。4.= 5.设P=,Q=,积分与路径无关,则6. ,又当时,收敛,当时,级数发散,原题得证7.由拉格朗日定理,其中,原题得证8.(1)应用数学归纳法,当时命题成立,若当时命题也成立,则当时,由归纳假设连续。(2)整理为word格式(3)由单调递减趋于,与都连续,由地尼定理,该收敛为一致收敛。9.(1)证明:取,代入式中得,即,所以函数单调递增有下界,从而存在右极限,则;,由题设可得,即从而,所以导函数递增。(2)参考实变函数的有关教材。2005年南开大学数学分析试题答案2.,其中由 求出3.4.在上单调一致趋于0,则在上一致收敛,又整理为word格式在上连续,则在上连续。5.由泰勒公式,则,后者收敛,则原级数收敛。6.由拉格朗日中值定理,后者收敛,由魏尔特拉斯定理,原级数一致收敛。由一致收敛,则可以逐项求导,也一致收敛且连续,故连续可导7.反证:设存在有,不妨设,由连续函数的局部保号性,知道存在一个邻域当时,则存在一个圆周与已知矛盾。8.当时,时,综上,若对任意的有,则在时,不存在,矛盾。设当时,当时,两边对积分即可6. ,由在上有定义,则在上有界,则可以得到在上连续。,则,则 则单调递增有下界,存在右极限,整理为word格式存在,同理存在,由极限的保不等式性可得2003年中国科学院数学研究院数学分析试题答案1. (1)当时,当时,当时,当时,(2)当时,=(3)当时,当时,当时,当时,2. 当时, ,从而连续;整理为word格式当时,存在;当时, ,3.即证:,当时,设,所以,当时,设,所以,4. 5.假设存在常数M,积分矛盾6.作代换整理为word格式=7.椭球面的切向量为,切点为和8. 当时,相加:令,所以9整理为word格式由含参量积分的性质,科院2006年数学分析试题参考解答1求a,b使下列函数在x=0处可导:解:由于函数在x=0处可导,从而连续,由得到b=1;又由得到a=0.即得。2 证明: 用反证法。 由知,均为正项级数。假设级数收敛,则,于是有,从而由正项级数的比较判别法知级数收敛,矛盾,从而得证。整理为word格式3 解:从而即得解。(利用余元公式、换元、函数更为简单)4 证明:知,从而令有从而得证。 5证明: 整理为word格式6 证明: 我们先来证明一个不等式,一般的称为Cauchy-Schwarz不等式,即定理1 整理为word格式整理为word格式7 证明:8 设曲线的周长和所围成的面积分别为L和S,还令,则.证明:由对称性知9 解: 整理为word格式为证明=I,我们先来证明一个定理:定理2 设在|x|R内收敛,若也收敛,则 回到题目,看数项级数收敛,设=,|x|0,b0,证明:。证明:二、 设f(x)为a,b上的有界可测函数,且证明:f(x)在a,b上几乎处处为0。证明:反证法,假设A=x|f(x)0,那么mA0。整理为word格式三、 设函数f(x)在开区间(0,+)内连续且有界,是讨论f(x)在(0,+)内的一致连续性。讨论:非一致连续,构造函数:四、 设,讨论函数的连续性和可微性。解:1)连续性:连续2)可微性:可微五、 设f(x)在(a,b)内二次可微,求证:整理为word格式证明:六、 f(x)在R上二次可导,证明:f(x)在R上恰有两个零点。证明:七、 设函数f(x)和g(x)在a,b内可积,证明:对a,b内任意分割证明:整理为word格式八、 求级数:解:九、 讨论函数项级数在(0,1)和(1,+)的一致收敛性讨论:1) 0x1十、 计算为圆锥曲面被平面z=0,z=2所截部分的外侧。解:十一、设f(x)在0,1上单调增加,f(0)=0,f(1)=1,证明:证明:十二、设f(x)在0,+上连续,绝对收敛,证明:整理为word格式证明:十三、设,证明:当下极限时,级数收敛当上极限时,级数发散证明:(1)(2)苏州大学2004年数学分析解答1.(20)整理为word格式2.(20)整理为word格式整理为word格式整理为word格式整理为word格式整理为word格式整理为word格式整理为word格式05苏州大学整理为word格式整理为word格式整理为word格式整理为word格式整理为word格式8.(18分)设在上二次连续可微(其中),且在处的梯度,Hesse矩阵Q=为正定矩阵.证明:在处取到极小值;若是Q的最大特征值,是Q对应于的特征向量,则从处沿着方向增长浙江师范大学
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