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新教材适用北师大版数学【成才之路】高中数学 2.3.2双曲线的简单性质练习 北师大版选修1-1一、选择题1双曲线与椭圆1有相同的焦点,它的一条渐近线为yx,则双曲线方程为()Ax2y296By2x2160Cx2y280Dy2x224答案D解析由已知c2a2b2641648,故双曲线中c248,且焦点在y轴上,1,ab.由c2a2b2可得a2b224,故选D.2双曲线的渐近线与实轴的夹角为,则离心率e是()A.BC.D2答案B解析设双曲线焦点在x轴上,则tan,e.3双曲线1与(0)有相同的()A实轴B焦点C渐近线D以上都不对答案C解析的渐近线方程为0,(bxay)(bxay)0,即yx.4(2014河北唐山市一模)双曲线x2y24左支上一点P(a,b)到直线yx的距离为, 则ab ()A2B2C4D4答案A解析,|ab|2,双曲线左支在直线yx上方,a0,mb0)的离心率互为倒数,那么()Aa2b2m2Ba2b2m2Ca2b20)的左右焦点分别为F1、F2,其一条渐近线方程为yx,点P(,y0)在该双曲线上,则()A12B2C0D4答案C解析本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质由题意得b22,F1(2,0),F2(2,0),又点P(,y0)在双曲线上,y1,(2,y0)(2,y0)1y0,故选C.二、填空题7已知圆C:x2y26x4y80,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为_答案1解析本题考查双曲线的标准方程令x0,则y24y80无解令y0,则x26x80,x4或2.圆C与x轴的交点坐标为(4,0)和(2,0),故双曲线的顶点为(2,0)、焦点为(4,0),故双曲线的标准方程为1.8双曲线1的离心率e(1,2),则b的取值范围是_答案(12,0)解析b0,离心率e(1,2),12b0.三、解答题9(1)求与椭圆1有公共焦点,且离心率e的双曲线的方程;(2)求虚轴长为12,离心率为的双曲线的标准方程答案(1)y21(2)1或1解析(1)设双曲线的方程为1(40,b0)或1(a0,b0)由题设知2b12,且c2a2b2,b6,c10,a8.双曲线的标准方程为1或1.10已知F1、F2是双曲线1(a0,b0)的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦如果PF2Q90,求双曲线的离心率解析设F1(c,0),由|PF2|QF2|,PF2Q90,知|PF1|F1F2|2c,|PF2|2c.由双曲线的定义得2c2c2a.e1.所以所求双曲线的离心率为1.一、选择题1已知F1、F2是双曲线1(a0,b0)的两个焦点,以线段F1F2为边作正MF1F2,若边MF1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为()A42B1C.D1答案D解析设线段MF1的中点为P,由已知F1PF2为有一锐角为60的直角三角形,|PF1|、|PF2|的长度分别为c和c.由双曲线的定义知:(1)c2a,e1.2已知F1、F2为双曲线Cx2y21的左、右焦点,点P在C上,F1PF260,则|PF1|PF2|()A2B4C6D8答案B解析该题考查双曲线的定义和余弦定理,考查计算能力在F1PF2中,由余弦定理得,cos6011,故|PF1|PF2|4.3设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析本题考查椭圆、双曲线的定义椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,C1的长半轴为13,半焦距为5,则C1的两个焦点F1(5,0),F2(5,0),设C2上的点P(x,y),|PF1|PF2|80,a29,b2m,c2a2b29m,c,双曲线的一个焦点在圆上,是方程x2x900的根,9,m72,双曲线的渐近线方程为y2x,故选B.二、填空题5(2014三峡名校联盟联考)已知双曲线1(a0,b0)的一条渐近线方程为x2y0,则椭圆1的离心率e_.答案解析由条件知,即a2b,c2a2b23b2,cb,e.6(2014天津市六校联考)已知双曲线1(a0,b0)和椭圆1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为_答案1解析椭圆中,a216,b29,c2a2b27,离心率e1,焦点(,0),双曲线的离心率e2,焦点坐标为(,0),c,a2,从而b2c2a23,双曲线方程为1.三、解答题7根据以下条件,分别求出双曲线的标准方程(1)过点P(3,),离心率e.(2)F1,F2是双曲线的左、右焦点,P是双曲线上的一点,且F1PF260,SPF1F212,且离心率为2.答案(1)x24y21(2)1解析(1)若双曲线的实轴在x轴上,设1为所求由e,得.由点P(3,)在双曲线上,得1.又a2b2c2,由得a21,b2.若双曲线的实轴在y轴上,设1为所求同理有,1,a2b2c2.解之,得b2(不符,舍去)故所求双曲线方程为x24y21.(2)设双曲线方程为1,因|F1F2|2c,而e2,由双曲线的定义,得|PF1|PF2|2ac.由余弦定理,得(2c)2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|(1cos60),4c2c2|PF1|PF2|.又SPF1F2|PF1|PF2|sin6012,|PF1|PF2|48.3c248,c216,得a24,b212.故所求双曲线的方程为1.8设双曲线C:y21(a0)与直线l:xy1相交于两个不同的点A,B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;(2)设直线l与y轴的交点为P,且,求a的值答案(1)(,)(2)解析(1)由C和l相交于两个不同的点,知方程组有两个不同的实数解消去y并整理得(1a2)x22a2x2a20.所以,解得0a且a1.双曲线的离心率e.0a且e,即离心率e的取值范围为(,)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1),(x1,y11)(x2,y21)由此得x1x2.由于x1,x2都是方程的根,且1a20,x2,x.消去x2,得.又a0,a.
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