-傅里叶级数及其应用专业：数学与应用数学班级：目 录引言31 傅立叶级数的计算51.1 傅立叶级数的几何意义51.2 傅里叶级数的敛散性问题101.3 傅里叶级数的展开111.4关于傅里叶级数展开的个别简便算法161.5 利用二元函数微分中值定理研究函数性质192 傅里叶级数的相关定理及其应用212.1 元函数中值定理及其几何意义212.2 利用元函数微分中值定理研究函数的性质283 微分中值定理在复数域上的推广323.1 复数域上的中值定理323.2 利用复数域中值定理研究函数性质36结论39致40参考文献41. z.-摘 要为了更好地认识和应用微分中值定理，使微分中值定理能够最大的发挥其重要作用，在深刻理解和掌握教材微分中值定理的基础上，将微分中值定理在元函数以及复数域推广及应用加以探讨首先根据一元函数微分中值定理的容，给出了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理公式的统一形式而后又仿照一元函数微分中值定理的形式对教材中二元函数微分中值定理进行补充，给出了二元函数罗尔定理、柯西中值定理和二元函数泰勒中值定理的表述，并且构造“辅助函数”给出了证明过程，然后讨论了二元函数罗尔定理与拉格朗日定理的几何意义接着通过对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出了元函数罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的表述形式，而后同样借助构造的“辅助函数”把元函数转化为一元函数，进而给出了四个定理的证明，并通过几个典型例题验证了元函数微分中值定理的可用性最后从二元函数微分中值定理着手，给出了复数域上的罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的表述形式，同时通过几个例题验证了复数域上微分中值定理的可用性关键词：元函数；微分中值定理；几何意义；复数域AbstractIn order to understand and make better use of the differential mean value theorem which can play a largest role in application, we e*plore the generalization and the application of the differential mean value theorem in n-variable functions and comple* field based on the comprehension and mastery of the differential mean value theorem in te*tbook. At first, according to the differential mean value theorem of one-variable function, we give the uniform of Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem. Then we complement the differential mean value theorem of two-variable function in te*tbook following one- variable function, give the e*pressions of Rolle theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem of two-variable function, constitute au*iliary function and give the proof procedure, discuss the geometric significance of the Rolle theorem and Lagrange theorem of two-variable function. Later, we give the e*pressions of the Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem, Taylor mean value theorem of n- variable function by comparing the differential mean value theorem of one-variable function and two-variable function. Similarly, by constituting au*iliary function, we change n-variable function into one-variable function and give the proof of four theorems. Check the availability of the differential mean value theorem by some typical e*amples. At last, proceed from the differential mean value theorem of two-variable function, we give the e*pressions of Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem in comple* field and check the availability of the differential mean value theorem by some typical e*amples at the same time.Keywords:n-variable function; differential mean value theorem; geometric significance; comple* field引 言微分中值定理是微分学的核心定理，它是联系函数与导数的桥梁，微分中值定理把函数在*个区间上的函数值与其导数值联系起来，应用局部状态的导数研究函数在区间上的“整体”性态，它是研究函数性态的重要工具在大学四年的学习中，已经掌握了一些有关一元微分中值定理的容，我们知道一元函数的罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理分别建立了函数与一阶导数的关系和函数与高阶导数的关系在实际应用中，很多情况要突破一元微分学和平面领域这些局限，为了更好的利用微分学中值定理这个重要工具，需要把它的应用围加以扩展，使之能够在元微分学即维空间以及复数域上得以使用本文将分三部分对微分中值定理进行推广，第一部分中，首先从数学分析教材入手，梳理教材中学过的有关一元函数微分中值定理的相关容，进而研究一元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理之间的关系，试图找出统一的中值公式，通过这个公式全面认识这四个定理其次，对照一元函数微分中值定理的分析研究，探讨二元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，二元函数泰勒中值定理的形式及成立的条件，然后探讨定理之间的关系，找到统一的中值公式，透过这个公式再认识微分中值定理，接着仿照一元函数微分中值定理给出证明及其几何意义第二部分中，对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出元函数微分中值定理的成立条件和中值公式，同样通过构造“辅助函数”证明定理成立，并自由想象多元函数微分中值定理的几何意义第三部分中，从二元函数微分中值定理入手，仿照二元函数中值定理的形式，探讨微分中值定理在复数域上的表述接着再通过构造“辅助函数”给出定理证明1傅立叶级数自然界中周期现象的数学描述就是周期函数最简单的周期现象，如单摆的摆动等，都可以用正玄函数或余弦函数表示但是，复杂的周期现象，如热传导、电磁波以及机械振动等，就不能仅用一个正弦函数和余弦函数表示，需要用很多个甚至无限多个正弦函数和余弦函数的叠加表示因此，傅里叶级数就应运而生傅里叶级数就是将周期函数展成无限多个正弦函数与余弦函数之和的一种解决问题的简便方法其主要是研究级数的敛散性问题，从而利用傅里叶级数解决其他生活中的很多相关问题 傅里叶级数应用到我们生活中的各个角落，主要是在数字信号处理等方面有重要应用，为我们的生活无私的奉献着1.1 一元函数中值定理及其几何意义 从“几何”的角度来看待傅里叶级数，当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的坐标轴上考虑一个简单的二维平面的例子. 如下图所示，给定两个向量和，从的末端出发作到所在直线的垂线，得到一个跟同向的新向量这个过程就称作到所在直线的投影，得到的新向量就是沿方向的分量。图中的系数是跟的比例，也就是在轴上的“坐标”可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：如果给定的向量和都是代数形式的，怎么用代数的方法求.图片1：向量到所在直线的投影知道这个向量是“正交”于的，用数学语言表达就是马上就可以得到 c 的表达式如下：如下图所示，现在引进一组正交基 ，则可以展开成以下形式图片2：向量在正交基上的展开 从图上来看，式其实说的是可以把“投影”到 和这两个坐标轴上，和就是的新“坐标”. 问题是：怎么求和呢.利用之前关于投影的讨论，可以直接得出答案，直接利用式就可以得到如下的表达式： ； ；如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新“坐标轴”的“坐标”，则我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把式中的换成新坐标轴就好了. 这些东西跟傅里叶级数有什么关系.给定一个周期是的周期函数，它的傅里叶级数为：其中系数表达式如下：；从几何角度来看，可以用下面这组由无限多个三角函数（包括常数）组成的“正交基”来展开，从几何投影的观点来看待傅里叶级数，理解变得更加容易，因为容易理解投影的概念；同事，傅里叶级数所有的公式都可以轻松的记住，想忘记都难了. 还可以尝试着用不同的角度去看待同一个问题，这样做会发现更多的简便方法和问题.1.2傅里叶级数的敛散性问题定义若函数在区间除有限个第一类剪短点外皆连续，则称函数在逐段连续 若函数与它的导函数都逐段连续， 则称函数在逐段光滑显然，逐段光滑的函数是可积的相关定理定理若是元函数在凸区域上以为周期的在逐段光滑的函数，则函数的傅里叶级数在收敛，其和函数式，即，有，使得特别地，当时，变为因为，所以，即，这就是一元函数的罗尔定理的公式元函数罗尔定理的几何意义：在维空间里，闭区域上有连续超曲面，超曲面上每一点都存在超切平面，且在超曲面的底面与面平行，则超曲面上至少有一点，使得过该点的超切平面平行于面定理2（元函数拉格朗日定理） 设元函数在凸区域上连续，在的所有点都可微，对任意两点，使得(2-1)证明令，它是定义在上的一元函数，由定理中的条件知在上连续，在可微，于是根据一元函数微分中值定理，使得由复合函数的求导法则，而=所以，特别地，当，则由(2-1)式有，这就是一元函数的拉格朗日中值公式元函数拉格朗日定理的几何意义：在维空间里，闭区域上有连续超曲面，超曲面上每一点都存在超切平面，超曲面被超平面所切得面，则超曲面上至少有一点，使得过该点的超切曲面平行于面定理3（元函数柯西中值定理