第8章周期性非正弦稳态电路分析8. 1学习要点8. 1. 1周期性非正弦稳态电路的基本概念1 .周期性非正弦稳态电路当稳态电路中的支路电压、电流为周期性非正弦波时，称为周期性非正弦稳 态电路，简称为非正弦电路。非正弦电路分为激励为正弦函数的非正弦电路和激 励为非正弦函数的非正弦电路。本章讨论的是激励为周期性非正弦函数，其他元 件为线性时不变元件的非正弦电路的稳态分析。2 .非正弦电路的稳态分析方法非正弦电路的稳态分析是借助数学中的傅里叶级数， 将电路中的周期性非正 弦激励分解为直流分量和一系列不同频率的正弦量之和， 再依据叠加定理，将非 正弦电路化为直流电路和一系列不同频率的正弦稳态电路的叠加。8. 1. 2周期性非正弦函数的谐波分析1 .周期函数的傅里叶级数展开式如果函数f t满足f t f(t kT) k 0,1,2”则称f t为周期函数，其频率f 1，T为周期函数的周期。如果周期函数f t满足狄里赫利条件，则可将其展开为傅里叶级数a。akm cosk t bkm sin k t或式中f t 凡msin k t k2 k 11 TA。a。f t dtT 02 T一f t cosk 1tdtT 01.2T.bkm T0ft Sink 1tdtkarctanakmbkm2.几种对称的周期函数(1)在一个周期内平均值为零的函数这类函数波形的特征是在一个周期中正半周的面积等于负半周的面积。必有曳1 T f t dt 0 ,即这类函数的傅里叶级数中不含有常数项。2 T 0(2)奇函数若周期函数满足ftf t ,则称f t为奇函数。奇函数是一个周期内平均值为零的函数，因此奇函数的傅里叶级数中不含常 数。又因为余弦函数是偶函数项，于是奇函数的傅里叶级数中也不含有余弦项。 因此，奇函数的傅里叶级数为f tbkm sin k itk 1(3)偶函数若周期函数f t满足f t f t ,则称f t为偶函数。因为正弦函数是奇函数，所以偶函数的傅里叶级数中不可能含有正弦项。因此，偶函数的傅里叶级数为f t a.cosk it2 k 1(4)奇谐波函数若周期函数f t满足f t f t T ,则称f t为奇谐波函数。其傅里叶级 2数不含有常数项和偶次谐波。因此，奇谐波函数的傅里叶级数为f t sin k it k k 1,3,5,| k 1(5 )偶谐波函数若周期函数f t满足f t f t T ,则称f t为偶谐波函数。其傅里叶级数 2中不含有奇次谐波。因此，偶谐波函数的傅里叶级数为?儿msin k 1tk2 k 1k 2,4,6, |8. 1. 3周期性非正弦电压、电流的有效值与平均值及二端网络的有功功率(平均功率)设二端网络的端口电压、电流为关联参考方向，其表达式分别为u Uo 2UkSin k tku则他们的有效值分别为i Io2I k sin k tk 1ki. U。U1 U2,i2i1212 7n即电压、电流的有效值为其恒定分量及各次谐波分量有效值平方和的正方根值。 电压、电流的平均值(均名值)的定义式为Uaaaa:udtI aa0T idt该二端网络吸收的平均功率为P U0I0UkIk cos0 0k kk 1kukiUoIo U1I1 cos lu1iU 2 I 2 COS 2u 2i | 11上式说明，周期性非正弦电路中的有功功率等于各次谐波的有功功率之和。 只有同频率的电压、电流才产生有功功率。8. 1. 4周期性非正弦稳态电路分析1 .谐波阻抗的概念电容和电感元件对于不同的谐波分量而呈现出的阻抗称为谐波阻抗 对于直流分量，电容相当于开路，电感相当于短路。对于第k次谐波分量，电感、电容的谐波阻抗分别为Zl jk 1 jk 1L kZL j 1Zc jk 11 Zc j 1电感元件的k次谐波阻抗为基波阻抗的k倍，电容元件的k次谐波阻抗为基 拔阻抗1倍。k电阻元件的阻值与频率无关，是一常数。2 .周期性非正弦稳态电路分析计算的步骤(1)将电路中的非正弦电源分解为傅里叶级数，并根据问题容许的误差， 截取级数的前n项。(2)分别计算直流电路及多个单一频率的正弦电源作用的电路，求出各电路中的稳态电流和电压及功率需要计算的电路数对每个单一频率的正弦电路采用相量模型用相量法求解, 目等于电源所含的谐波的数目。(3)将直流分量和各次谐波分量在时域里面叠加，写出响应的时域表达式。(4)计算响应的有效值或求功率。8. 1. 5对称三相周期性非正弦电路的稳态分析对称三相非正弦电路中的电压电流一般是奇次谐波，在稳态分析中，将各次谐波按相序分成正序、逆序和零序三个组别。k 3m 1 m 1,2,3,“次谐波电源为正序组谐波，k 3m 2 m 1,2,“次谐波电源为逆序组谐波，k 3m m 1,2,3次谐波为零序谐波。对称三相非正弦电量中同次谐波的正序分量和逆序分量三相之和恒为零。而零序分量的三相之和为一相的三倍。 因此在分析过程中，正、负序谐波分量都可 以抽出一相按对称三相电路的分析计算方法计算。零序谐波作用下产生的响应是对称三相非正弦周期电路分析中一个重要的问题。1 .三相三线制丫形电路对称非正弦三相三线制丫形电路有如下特点：(1)线(相)电流不含零序谐波；(2)中性点电压uOO只含零序谐波；(3)线电压中不含零序谐波。2 .三相四线制丫形电路非正弦对称三相四线制丫形电路有如下特点：(1)线电流中含有零序谐波；(2)中线电流中只含有零序谐波；(3)线电压中不含零序谐波。3 .三相形电路非正弦对称三相形电路有如下特点：(1)线电流中不含有零序谐波；(2)在连接的三相电源中存在零序谐波环流；(3)线电压中不含有零序谐波。8. 2练习题题解8-1用查表法写出图8-1 (a)、(b)所示波形的傅里叶级数。k 1f t 822 sinot 9sin3 t，号 IH -vsink t HI k 1, f t不是周期函数。,5，W其中22T 4T- rad/32(b)由教材中表8-1可以查得，图(b)中梯形波a=1, Amax=3;傅里叶级 数为f t4_3 sin t 1sin3sin - t sin5sin tLsinksinktk 1,3,5,|U294254 k4其中 -rad/3T 8T 48-2判断下列各函数是否为周期函数，并说明为什么？若是周期函数，其周期为何？(1) f(t) 2品sin 6t(2) f(t) 200sin 50 t 120vJ2sin(100 t 30】)5072cos200 t(3) f (t) 100 5072sin 72 t 20V2sin10 t解(1) f t是周期函数，周期为。3f(t k?-) 2 2 2sin6(t ) 2 22sin(6t 2k )332 2 、2 sin6tf (t)(2) f t是周期函数，周期为工。可得25f (t ) 200sin 50 (t ) 120 2 sin 100 (t ) 3025252550 2 cos200 (t ) f (t)25f t中分量50/2sin我t的周期为*分量20&sin10 t的周期为5,两个分量的周期不相等也没有倍数关系。所以f t不是周期函数。8-3周期函数的波形如图8-2 (a)、(b)所示，试定性分析各波形的谐波成分(a)f(t)A101 23t/s(b)图8-2 练习题8-3图解(a) f t ft,即该函数是奇函数。该函数的傅里叶级数常数项为零，而且不含余弦项。该函数同时属于奇谐波函数，所以傅里叶级数中不含偶次 谐波。综上所述该函数的谐波成分为：仅含奇次谐波的正弦项。(b)该函数是偶函数，且为偶谐波函数。所以该函数的傅里叶级数中谐波成分为：含直流分量和偶次谐波的余弦项。8-4试做出图8-3 (a)所示方波波形的振幅频谱图和相位频谱图。解 由给出的u(t)波形，查表可得t HI 1sink t III Vb)、(c)所示。u(t)1sin t - sin3 t31 sin55据此可以做出振幅频谱图和相位频谱图如图(u(t)*3-T 2(a)亏波波形km4U4U(b)振幅频谱图O .234 5 .(c)相位频谱图图8-3练习题8-4图8-5某周期性非正弦电流的表达式为：i(t) 30 60应sin(20t 30；：) 45/2sin20t 20y/2sin30t 1842cos30t A ,求该电 流的有效值。解二次谐波的有效值相量为 ?I2 60 30. 45 0.: 51.96 j30 45 101.5 17.19 A三次谐波的有效值相量为I3 20 0 . 18 90. 26,91 41.99- A因此电流的有效值为I.12一IJ .302101.5226.912 109.21 A8-6(1)若全波整流电流的平均值为5A,求整流前正弦电流的最大值。(2)若正弦电压的振幅为311V,求半波整流电压的平均值。解(1)全波整流平均值即为均绝值，有Iaa 0.9I于是得正弦电压的有效值为I Iaa 0.9 1.11 5 5.55 A则最大值为Im 2I 5.55.2 7.85 A4Um