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1 1 长春市普通高中高三质量监测(四) 数学文科第卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项涂在答题卡上)1. 已知集合,则中元素的个数为A. B. C. D. 2. 已知复数满足 ,则 A. B. C. D. 3. 设,则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知直线与平面,下列命题中错误的是A.若 ,则 B. 若 ,则C.若 ,则D. 若 ,则5. 执行如图所示的程序框图,若输出的值为,则判断框内可填入的条件是A. B. C. D. 6. 祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两个同高的几何体,如在等高处截面的面积恒相等,体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为A. B. C. D. 7. 函数的部分图象如图所示,则A. B. C. D. 8. 已知等比数列单调递减,满足,则数列的公比A. B. C. D. 9. 函数的大致图像为10. 如图,从高为的气球上测量待建规划铁桥的长,如果测得桥头的俯角是,桥头的俯角是,则桥的长为A. B. C. D. 11. 棱长为的正四面体中,为棱上一点(不含两点),点到平面和平面的距离分别为,则的最小值为A. B. C. D. 12. 为双曲线右支上一点,、分别为双曲线的左顶点和右焦点,且为等边三角形,则双曲线的离心率为A.4 B. C. D. 第卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分,第13题21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡中的横线上).13.已知,则与的夹角为_14. 等差数列的前项和为,已知,则使取最小值的等于 .15. 已知圆的圆心在直线上,且经过原点和点,则圆的方程为 _.16. 下列说法中正确的有:_.(将你认为正确的命题序号全部填在横线上)电影院调查观众的某一指标,通知“每排(每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈”是系统抽样;推理过程“因为指数函数是增函数,而是指数函数,所以是增函数”中,小前提是错误的;对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想:正四面体与其内切球切于各面中心;在判断两个变量与是否相关时,选择了个不同的模型,它们的相关指数分别为:模型为,模型为,模型为.其中拟合效果最好的是模型;三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).17.(本小题满分12分)已知函数.(1)利用“五点法”列表,并画出在上的图象;(2)分别是锐角中角的对边.若,求面积的取值范围.18. (本小题满分12分)某便携式灯具厂的检验室,要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性。检查人员从中随机抽取5件,通过对其加以不同的电压(单位:伏特)测得相应电流(单位:安培),数据见下表:(1)试估计如对该批次某件产品加以110伏电压,产生的电流是多少?(2)依据其行业标准,该类产品电阻在18,22内为合格品,电阻的计算方法是电压除以电流现从上述件产品中随机抽件,求这两件产品中至少有一件是合格品的概率(附:回归方程:,参考数据:)19. (本小题满分12分)在四棱锥中,平面,为中点.(1)证明:平面;(2)若三棱锥的体积为,求到平面的距离20(本小题满分12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,过点的直线交椭圆于两点,的最小值为3,且的周长为8.(1)求椭圆的方程;(2)当直线不垂直于轴时,点关于轴的对称点为,证明直线恒过定点,并求此定点坐标.21.(本小题满分12分)已知函数.(1)若曲线在点处与直线相切,求的值;(2)若恒成立,求的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)选修41:几何证明选讲.如图,是圆的直径,弦、的延长线相交于点,垂直的延长线于点.(1)求证:是的角平分线;(2) 求证:.23. (本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程.在极坐标系中,点的坐标是,曲线的方程为.以极点为坐标原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,斜率为的直线经过点.(1)写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线和曲线相交于两点,求的值.24. (本小题满分10分)选修45:不等式选讲.已知函数,不等式对恒成立.(1)求的取值范围;(2) 记的最大值为,若正实数满足,求证:.长春市普通高中高三质量监测(四)数学(文科)参考答案及评分标准一、选择题(本大题包括12小题,每小题5分,共60分)1. C2. B3. A 4. D5. C6. C7. B8. B9. C 10. A 11. D12. A简答与提示:1. 【试题解析】C 由题意可知,所以. 故选C.2. 【试题解析】B复数,则. 故选B.3. 【试题解析】A“”等价于“”,“”等价于“”,故选A.4. 【试题解析】DD选项,若,则或,所以D错误. 故选D.5. 【试题解析】C 由程序框图可知,要输出,需时条件成立,当时条件不成立,从而. 故选C.6. 【试题解析】C由祖暅原理可知,该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等,图示几何体是一个正方体去掉一个半圆柱,从而其体积为. 故选C.7. 【试题解析】B由题意可知,进而,从而. 故选B.8. 【试题解析】B由,且单调递减,可知,可求得(舍掉). 故选B. 9. 【试题解析】C由题意,定义域为,排除A;当时,排除B;当时,单调递增,排除D. 故选C.10. 【试题解析】A设气球在地面上的射影点为,在中,在中,. 故选A.11. 【试题解析】D 连结,由正四面体棱长为1,有,由于,有,由可得,所以. 故选D.12. 【试题解析】A 由题意可知,设双曲线左焦点为,由为等边三角形,所以,从而,在中,由余弦定理得,解得或(舍). 故选A.二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分,共20分)13. 14. 15. 16. 简答与提示:13. 【试题解析】由得,所以,与的夹角为. 14. 【试题解析】 由题意可知,故数列是递增数列,所以,所以使取最小值的.15. 【试题解析】由题意可知,该圆心在原点和点的中垂线上,又在直线上,因此圆心为,半径为,因此圆的方程为.16. 【试题解析】由题意可知,是系统抽样,正确;推理过程是大前提错误,而不是小前提,错误;满足合情推理,因此正确;根据相关指数的定义可知,相关指数越接近于1,模型的拟合效果越好,因此正确. 故答案为.三、解答题(本大题必做题5小题,三选一选1小题,共70分)17. (本小题满分12分)【试题解析】解:(1) 将函数化简成为,根据列表可知函数图像如图所示(6分)(2) 在中,可知,由正弦定理可知,即,则,其中,因此的取值范围是. (12分)18. (本小题满分12分)【试题解析】(1)由题意可得,所以回归直线,故当电压加为110伏时,估计电流为5.06安培 (6分)(2)经计算,产品编号为的是不合格品,其余为合格品,从中随机抽2件共有如下10种情况:,其中至少有一件是合格品有9种情况,故所求事件的概率为.(12分)19. (本小题满分12分)【试题解析】解:取的中点为,连结(1) 是的中点,且,四边形为平行四边形,又 平面,平面所以平面 (6分)(2)是的中点,所以,平面, 又设点到平面的距离为,则,故到平面的距离为 (12分)20. (本小题满分12分)【试题解析】解:(1) 因为是过焦点的弦,所以当轴时,最小,且最小值为,由题意可知,再由椭圆定义知,的周长为,所以,所以椭圆的方程为 (4分)(2)设方程为,则,化简得所以,则的方程为化简有,将代入可得,所以直线恒过定点 (12分)21. (本小题满分12分)【试题解析】解:(1) (4分)(2)当时,在上单调递增,且值域为;当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,上单调递增当时,不可能恒成立;当时,成立;当时,在处取得最小值,则只需即,所以,解得,所以综上所述: (12分)22. (本小题满分10分)【试题解析】解(1)AB是圆O的直径,,即 又MN垂直BA的延长线于点N,即M、N、A、D四点共圆, 由于,所以所以是的角分线(5分)(2) M、N、A、D四点共圆, B、C、A、D四点共圆, +有 B、C、M、N四点共圆,所以所以 (10分)23. (本小题满分10分)【试题解析】解(1)由曲线的极坐标方程可得,因此曲线的直角坐标方程为点的直角坐标为,直线的倾斜角为,所以直线的参数方程为为参数. (5分)(2) 将为参数代入,有,设,对应参数分别为,有,根据直线参数方程的几何意义有,=. (10分)24. (本小题满分10分)【试题解析】(
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