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N单元 选修4系列 152014广东卷 (几何证明选讲选做题)如图13所示,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB2AE,AC与DE交于点F,则_图13159解析 本题考查相似三角形的性质定理,面积比等于相似比的平方EB2AE,AEABCD.又四边形ABCD是平行四边形,AEFCDF,9.152014湖北卷 (选修41:几何证明选讲)如图13,P为O外一点,过P点作O的两条切线,切点分别为A,B,过PA的中点Q作割线交O于C,D两点,若QC1,CD3,则PB_图13154解析 由切线长定理得QA2QCQD1(13)4,解得QA2.故PBPA2QA4.122014湖南卷 如图13所示,已知AB,BC是O的两条弦,AOBC,AB,BC2,则O的半径等于_图1312.解析 设圆的半径为r,记AO与BC交于点D,依题可知AD1.由相交弦定理可得1(2r1),解得r.222014辽宁卷 选修41:几何证明选讲如图17所示,EP交圆于E,C两点,PD切圆于D,G为CE上点且PGPD,连接DG并延长交圆于点A,作弦AB垂直EP,垂足为F.(1)求证:AB为圆的直径;(2)若ACBD,求证:ABED.图1722证明:(1)因为PDPG,所以PDGPGD.由于PD为切线,故PDADBA,又因为PGDEGA,所以DBAEGA,所以DBABADEGABAD,从而BDAPFA.又AFEP,所以PFA90,所以BDA90,故AB为圆的直径(2)连接BC,DC.由于AB是直径,故BDAACB90.在RtBDA与RtACB中,ABBA,ACBD,从而得RtBDARtACB,于是DABCBA.又因为DCBDAB,所以DCBCBA,故DCAB.因为ABEP,所以DCEP,DCE为直角,所以ED为直径,又由(1)知AB为圆的直径,所以EDAB.222014新课标全国卷 选修41:几何证明选讲如图16,四边形ABCD是O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CBCE.图16(1)证明:DE;(2)设AD不是O的直径,AD的中点为M,且MBMC,证明:ADE为等边三角形22证明:(1)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以DCBE.由已知得CBEE,故DE.(2)设BC的中点为N,连接MN,则由MBMC知MNBC,故O在直线MN上又AD不是O的直径,M为AD的中点,故OMAD,即MNAD,所以ADBC,故ACBE.又CBEE,故AE,由(1)知,DE,所以ADE为等边三角形222014新课标全国卷 选修41:几何证明选讲如图14,P是O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与O相交于点B,C,PC2PA,D为PC的中点,AD的延长线交O于点E,证明:(1)BEEC;(2)ADDE2PB2.图1422证明:(1)连接AB,AC.由题设知PAPD,故PADPDA.因为PDADACDCA,PADBADPAB,DCAPAB,所以DACBAD,从而BEEC.因此BEEC.(2)由切割线定理得PA2PBPC.因为PAPDDC,所以DC2PB,BDPB.由相交弦定理得ADDEBDDC,所以ADDE2PB2.152014陕西卷 图13B(几何证明选做题)如图13,ABC中,BC6,以BC为直径的半圆分别交AB,AC于点E,F,若AC2AE,则EF_15 B3 解析 B由题意,可知AEFACB,又AA,所以AEFACB,所以.因为AC2AE,BC6,所以EF3.62014天津卷 图12如图12所示,ABC是圆的内接三角形,BAC的平分线交圆于点D,交BC于点E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下,给出下列四个结论:BD平分CBF;FB2FDFA;AECEBEDE;AFBDABBF.则所有正确结论的序号是()A B C D6D解析 如图所示,13,24,且12,43,BD平分CBF,ABFBDF.,ABBFAFBD.,BF2AFDF.故正确142014重庆卷 过圆外一点P作圆的切线PA(A为切点),再作割线PBC依次交圆于B,C.若PA6,AC8,BC9,则AB_144解析 根据题意,作出图形如图所示,由切割线定理,得PA2PBPCPB(PBBC),即36PB(PB9)PB3,PC12.由弦切角定理知PABPCA,又APBCPA,PABPCA,即AB4.212014福建卷 ()选修42:矩阵与变换已知矩阵A的逆矩阵(1)求矩阵A;(2)求矩阵A1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量21. ()解:(1)因为矩阵A是矩阵A1的逆矩阵,且221130,所以A .(2)矩阵A1的特征多项式为f()243(1)(3),令f()0,得矩阵A1的特征值为11或23,所以1)是矩阵A1的属于特征值11的一个特征向量,2)是矩阵A1的属于特征值23的一个特征向量132014天津卷 在以O为极点的极坐标系中,圆4sin 和直线sin a相交于A,B两点若AOB是等边三角形,则a的值为_133解析 将4sin 与sin a转化为直角坐标方程分别为x2(y2)24与ya.联立得x2a24a,且0a4.AOB为等边三角形,a23(a24a),解得a3或a0(舍)42014安徽卷 以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是4cos ,则直线l被圆C截得的弦长为()A. B2C. D24D解析 直线l的普通方程为yx4,圆C的直角坐标方程是(x2)2y24,圆心(2,0)到直线l的距离d,所以直线l被圆C截得的弦长为22 .32014北京卷 曲线(为参数)的对称中心()A在直线y2x上 B在直线y2x上C在直线yx1上 D在直线yx1上3B解析 曲线方程消参化为(x1)2(y2)21,其对称中心点为(1,2),验证知其在直线y2x上21 2014福建卷 ()选修44:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为(t为参数),圆C的参数方程为(为参数)(1)求直线l和圆C的普通方程;(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围21. ()解:(1)直线l的普通方程为2xy2a0,圆C的普通方程为x2y216.(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d4,解得2a2.142014广东卷 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为sin2cos 和sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为_14(1,1)解析 本题主要考查将极坐标方程化为直角坐标方程的方法将曲线C1的方程sin 2cos 化为直角坐标方程为y2x,将曲线C2的方程sin 1化为直角坐标方程为y1.由解得故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1,1)162014湖北卷 (选修44:坐标系与参数方程)已知曲线C1的参数方程是(t为参数)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是2,则C1与C2交点的直角坐标为_16.解析 由消去t得yx(x0),即曲线C1的普通方程是yx(x0);由2,得24,得x2y24,即曲线C2的直角坐标方程是x2y24.联立解得故曲线C1与C2的交点坐标为.112014湖南卷 在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:(为参数)交于A,B两点,且|AB|2.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是_11cos sin 1解析 依题意可设直线l:yxb,曲线C:的普通方程为(x2)2(y1)21.由|AB|2可知圆心(2,1)在直线l:yxb上,即l:yx1,所以l的极坐标方程是cos sin 10.112014江西卷 (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y1x(0x1)的极坐标方程为()A,0B,0Ccos sin ,0Dcos sin ,011(2)A解析 依题意,方程y1x的极坐标方程为(cos sin )1,整理得.因为0x1,所以 0y1,结合图形可知,0.232014辽宁卷 选修44:坐标系与参数方程将圆x2y21上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2xy20与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程23解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得由xy1得x21,即曲线C的方程为x21.故C的参数方程为(t为参数)(2)由解得或不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线的斜率k,于是所求直线方程为y1,化为极坐标方程,并整理得2cos 4sin 3,即.232014新课标全国卷 选修44:坐标系与参数方程已知曲线C:1,直线l:(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值23解:(1)曲线C的参数方程为(为参数),直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ,3sin )到l的距离d
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