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排列知识点及题型归纳总结知识点精讲一、特殊元素与特殊位置问题 排列时,某个(或某些)元素一定在(或一定不在)某个(或某些)位置.二、捆绑问题 某些元素作为一个整体在排列中不能分开.三、插空问题 某些元素互补相等.四、定序问题 某些元素相对顺序保持不变.五、其他排列 双排列和有相同元素的排列等.题型归纳及思路提示 题型1特殊元素或特殊位置的排列问题思路提示(1)加法:把全部特殊位置上的元素排好;剩余位置由剩余元素排列(2)减法:取消某些“不能”的限制去排列;减去因此而“扩进”的方法数 注:对于含有特殊元素或特殊位置的排列问题,一般采用直接法,即先排特殊元素或特殊位置,有时也采 用间接法,通常有以下解决问题的途径: 以元素为主体,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素 以位置为主体,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置 先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,在减去不合要求的排列数或组合数例12.127个人排成一排.(1)甲在左端,乙不在右端的排列有多少个?(2)甲不在左端,乙不在右端的排列有多少个?(3)甲在两端,乙不在中间的排列有多少个?(4)甲不在左端,乙不在右端,丙不在中间的排列有多少个?(5)甲、乙都不在两端的排列有多少个?解析 左端定甲,右端(去掉甲、乙)有C5,剩余5元任排A;,共qA; -6oo (种)排法.2)加法,以左端分类:乙+5选1人非乙A6 + CiCiA5 = 3720 (种)方法.6 55 5减法: A77甲乙甲乙+A厂 2A6 + A5 = 3720 (种)排法.先定甲位C2,再定中间位C5,共C2C5A广1200 (种)排法.4)解法宜用减法:| 7人全排甲在左或乙在右或丙在中间设A表示甲坐左端,A表示乙坐右端,A表示丙坐中间. i23card (AA77card 甲不在左端,乙不在右端,丙不在中间)二A7 7(card(A )+ card(A )+ card(A )- card(A n A )- card(A n A )- card(A n A )+ card(A n A n A )1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 2 3=A7 一3A6 + 3A5 一 A4 = 3216 (种)排法(见容斥原理).7 654解法二:甲不排左端,乙不排右端甲不排左端,乙不排右端,且丙在中间的情形, 3720- A5 -C1C1A4 = 3216种.5444(5)第一步:先排“特位”一一两端A2,第二步:排中间A5,故共有A2A5 = 2400 (种)排法.5555评注 第(2)与(4)题减法用到card(C A)= card(U)- card(A),其中card(A)表示有限集合A中U元素的个数容斥原理:A = Ai U A2 A3,card(A n A )13card (A) = card(A )+card(A )+card(A )-card(A n A )-card(A n A )1 231223card(A n A n A ).123变式1 0 9共10个数字,可组成多少个无重复数字的(1) 四位数;(2) 五位偶数;(3) 五位奇数;( 4 )大于或等于30000的五位数;(5) 在无重复数字的五位数中,50124从大到小排第几;(6) 五位数中大于23014小于43987的数的个数.变式2方程ay = b2x2 + c中的a,b,c g C3,-2,0,1,2,3),且a,b,c互不相同,在所以这些方程所表示的曲 线中,不同的抛物线共有( ).A.60 条 B.62 条 C.71 条D.80 条变式3 广州亚运会组委会要从小张,小赵,小李,小罗,小王5名志愿者选派4人分别从事翻译、导游、 礼仪、司机4项不同的工作,其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余3人均能从事着4项工作,则共 有( )种选派方案.A.12B.18C.36D.48变式4 一生产过程有4道工序,每道工序需要一个人照看,现从甲、乙、丙等6人中安排4人分别照看 每一道工序,第一道只能从甲、乙中安排1人,第四道工序只能从甲、丙中安排1人,则共有( )种 安排方法.A.24B.36C.48D.72题型2 元素相邻的排列问题思路提示先把排在一起的元素(m个)捆绑成一个板块(有Am种方法);再把板块当作一个大元素与其他元 m素精心排列.注 对于元素相邻排列问题,通常采用捆绑法,即可以把相邻元素看作一个整体,再参与其他元素的排列. 例12.13 七个人排成一排.(1) 甲、乙、丙排在一起,共有多少种排法?(2)甲、乙相邻,且丙、丁相邻,共有多少种排法?(3) 甲、乙、丙排在一起,且都不在两端,有多少种排法?(4)甲、乙、丙排在一起,且甲在两端,有多少种排法?(5)甲、乙之间恰有2人的排法有多少?(6)甲、乙之间是丙的排法有多少? 解析 甲、乙、丙板块(AI种排法)与其余4人排列共A3A5二720 (种)排法.(2)甲、乙板块(A2种方法),丙、丁板块(A2种方法)与其他3人排列,共A2A2A5二480 (种)排2 22 2 5法.(3)甲、乙、丙板块(A3种排法)与其余4人排列,板块不在两端,共A3C1A4二432 (种)排法.3 334(4)如图12-15所示,甲在两端(Ai种方法),乙、丙板块(A2种方法)与甲相邻,共A1 A2A4二96 (种)2 22245)如图12-16所示,先作甲XX乙出板块(A逍种方法),与其余3个元素排列,排法.甲乙丙图12-15共 A2 A2 A4 =960(种)排法.2 24(6)如图12-17所示,先作 甲|乙|出板块,与其他4个元素排列,共A2As = 240(种) 排法.甲XX乙甲丙乙图 12-16图 12-17评注关键在于板块的形成.变式1 一排8个车位,停5辆不同车,每车位至多停一车.(1)停车的5个车位相邻有多少停法?(2)不停车的3个空位相邻有多少停法?(3)一共多少停法? 变式2某次文艺汇演要将A, B, C, D, E, F这6个不同节目排成一个节目单(如图12-18所示),如果A, B两个节目要相邻,且都不排在第3个位置,则共有( )种节目单的不同排序方式.序号123456节目A.192B.96C.10图| 1 2 - 1 &D.144例12.14 用1,2,3,4,5,6组成无重复数字的六位数,要求任意两个相邻数字的奇偶性不同且1和2相邻,共 有个这样的六位数(用数字作答).分析 由题意知,这6位数字奇偶相间,且1和2相邻,关键是排1,2的位置.解析 解法一:先排1,2的位置(Ci种方法),再将1,2排列(A2种排法),然后其他位置的元素排列(AiAi522 2种方法),故共有C1 A2 A1 A1 = 40 (种).522 2解法二:可分三步来做这件事.第一步:将3,5排列,共有A2种排法;第二步:将4,6插空,共有2A2种排法;第三步:将1,2放到3,4,5,622形成的空中,共有Ci种排法.5由分步计数原理得,共有A2( 2A2)Ci = 40 (种).225变式1用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数,其中1,2相邻的偶数有个.变式2用0,1,2,3,4这5个数字组成无重复数字的五位数,其中一个偶数夹在两个奇数之间,这样的五位数有( )个.A.48 B.12 C.36 D.28题型3 元素不相邻排列问题思路提示步骤1: m个不同的元素在n个不同元素中抽空,先把n个元素排好,有An种排法.m步骤2: n个元素有n +1个空,m个不同的元素互不相邻有Am种排法.n+1步骤3:共有 An Am 种排法.m n +1注 对于元素不相邻的排列,通常采用插空的方法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素 插在前面元素排列的空当中.例12.15 7个人排成一排. (1)甲乙丙互不相邻,共有多少种排法?(2)甲乙相邻,丙丁不相邻有多少种排法?(3) 甲不与乙相邻,丙不与乙相邻,有多少种排法?解析 (1)共有A4A3 = 1440种排法.(2)甲、乙板块(A2种)与其他3人共4个元素排列,丙、丁在4 525个空中插空,共有A2A4A2 = 960种排法.(3)甲、丙可能相邻也可不相邻,分两类:245甲、乙、丙互不相邻,有 A4A3 =1440种排法.45甲、丙相邻形成板块(A2种排法)与乙在其余4人中插空A2A4A2 = 960,共有1440 + 960 = 2400种排2245法.评注 捆绑与插空同时发生时,先捆后插,如与特殊位(某元不在某位)问题结合宜用减法.变式1 一排8个车位,停5辆不同车,每车位至多停一车.(1) 空车位互不相邻有多少停法?(2) 恰两个车位相邻有多少停法?变式2 某电影院第一排共有9个座位,现有3名观众来就坐.(1) 若3名观众互不相邻,共有多少种坐法?(2) 若3名观众互不相邻,且要求每人左右都至多有两个空位,共有多少种不同的坐法(用数字作答).变式3 2男3女共5个同学站成一排,男生甲不站两端,3女中有且仅有2女相邻,则有( )种不同 的排法.A. 60 B.48 C.42 D.36例12.16 用1,2,3,4,5,6组成的没有重复数字的6位偶数中,1与3都不与5相邻的有()个.A.72 B.96 C.108 D.144分析 分析用插空法求解时要注意限制条件(六位偶数),3 个偶数形成4个空位,但另3个数只能插入前 3空位中.解析:1,3,5互不相 + 1,3相邻与5不相邻=As A3 + A3A2A3 = 108。故选C. 33333变式1 由0,1,2,3,4,5这6个数字可以组成个无重复数字且2,3不相邻的六位数(用数字作答).变式2 在一条南北方向的步行街上其中一侧有8块广告牌,广告牌的底色可红可蓝,要求相邻两块广告 牌底色不都为红色,则有( )种不同的配色方案.A.55B.56C.46D.47变式3 某仪器显示牌上每个指示灯均能显示红光和蓝光两种颜色,已知一排8只指示灯,每次显示其中 4只,且恰有3只是相邻的,此一排8只指示灯显示个不同信号.题型4 元素定序问题思路提示 先排好非定序元素,从而为定序元素留下空位,定序元素在留下空位中找到位置. 注解决元素定序问题的常用方法有虑它法,只选不排法和全排消序法(除法)3种.例12.17 4男3女坐成一排,且4男不等高,4男自左往右按从高到矮的顺序排列,有多少种不同的 排法?解析 解法一:(定序问题虑它法)先排列3女,剩余4个位置供4男按高矮顺序排列,故为A3 1 = 2107:种).解法二:(定序问题只选不排法)先选定4男的位置,有C4种方法,3女可以任意排列,4男的顺序7确定,其排列方法只有1种,故有C
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