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新教材适用高中选修数学选修1-1第三章3.4一、选择题1汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是()答案A解析加速过程,路程对时间的导数逐渐变大,图象下凸;减速过程,路程对时间的导数逐渐变小,图象上凸,故选A2(2016广东东莞高二检测)若商品的年利润y(万元)与年产x(百万件)的函数关系式yx327x123(x0),则获得最大利润时的年产量为()A1百万件 B2百万件C3百万件 D4百万件答案C解析依题意得,y3x2273(x3)(x3),当0x0;当x3时,y0.因此,当x3时,该商品的年利润最大3某箱子的容积与底面边长x的关系为V(x)x2()(0x60),则当箱子的容积最大时,箱子底面边长为()A30B40C50D35答案B解析V(x)(30x2)60xx2,x(0,60)令V(x)0,得x40.当x40时,箱子的容积有最大值4某工厂要建造一个长方体状的无盖箱子,其容积为48 m3,高为3 m,如果箱底每1 m2的造价为15元,箱壁每1 m2的造价为12元,则箱子的最低总造价为()A900元 B840元 C818元 D816元答案D解析设箱底一边的长度为x m,箱子的总造价为l元,根据题意得箱底面积为16(m2),箱底另一边的长度为m,则l1615(23x23)1224072,l72.令l0,解得x4或x4(舍去)当0x4时,l4时,l0.故当x4时,l有最小值816.因此,当箱底是边长为4 m的正方形时,箱子的总造价最低,最低总造价是816元5某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数:y117x2(x0);生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数:y22x3x2(x0),为使利润最大,则应生产()A6千台 B7千台 C8千台 D9千台答案A解析设利润为y(万元),则yy1y217x22x3x218x22x3(x0),y36x6x2,令y0,得0x6,令y6,当x6时,y取最大值,故为使利润最大,则应生产6千台6设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时,底面边长为()A B C D2答案C解析如图,设底面边长为x(x0),则底面积Sx2,h.S表x3x22x2,S表x,令S表0得x,因为S表只有一个极值,故x为最小值点二、填空题7(2016山东淄博月考)某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x_吨.答案20解析设该公司一年内总共购买n次货物,则n,总运费与总存储费之和f(x)4n4x4x,令f(x)40,解得x20,x20(舍),x20是函数f(x)的最小值点,故x20时, f(x)最小8做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27,且用料最小,则圆柱的底面半径为_.答案3解析设圆柱的底面半径为R,母线长为L,则VR2L27,L,要使用料最省,只需使圆柱形表面积最小,S表R22RLR2,S(R)2R0,令S0得R3,当R3时,S表最小9用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为21,该长方体的最大体积是_.答案3 m3解析设长方体的宽为x,则长为2x,高为3x(0x),故体积为V2x26x39x2,V18x218x,令V0得,x0或1,0x,x1.该长方体的长、宽、高各为2 m、1 m、1.5 m时,体积最大,最大体积Vmax3 m3.三、解答题10用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接成水箱问:水箱底边的长取多少时,水箱容积最大?最大容积是多少?解析设水箱底边长为x cm,则水箱高为h60(cm)水箱容积VV(x)60x2(0x0;当300x390时,P(x)0,所以当x300时,P(x)最大,故选D2三棱锥OABC中,OA、OB、OC两两垂直,OC2x,OAx,OBy,且xy3,则三棱锥OABC体积的最大值为()A4 B8 C D答案C解析Vy(0x0),L2.令L0,得x16或x16(舍去)L在(0,)上只有一个极值点,x16必是最小值点x16,32.故当堆料场的宽为16 m,长为32 m时,可使砌墙所用的材料最省4(2016山东莱芜高二月考)某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进行该路段的时刻t之间关系可近似地用如下函数给出:yt3t236t.则在这段时间内通过该路段用时最多的时刻是()A6时 B7时 C8时 D9时答案C解析yt2t36(t12)(t8),令y0得t12(舍去)或t8.当6t0;当8t9时,y0,当t8时,y有最大值二、填空题5做一个容积为256的方底无盖水箱,它的高为_时最省料.答案4解析设底面边长为x,则高为h,其表面积为Sx24xx2,S2x,令S0,则x8,则当高h4时S取得最小值6某商品一件的成本为30元,在某段时间内若以每件x元出售,可卖出(200x)件,要使利润最大每件定价为_元.答案85解析设每件商品定价x元,依题意可得利润为Lx(200x)30xx2170x(0x200)L2x170,令2x1700,解得x85.因为在(0,200)内L只有一个极值,所以以每件85元出售时利润最大三、解答题7某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2 500元,已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)200xx3(元),若生产出的产品都能以每件500元售出,要使利润最大,该厂应生产多少件这种产品?最大利润是多少?解析设该厂生产x件这种产品利润为L(x)则L(x)500x2 500C(x)500x2 500300xx32 500(xN)令L(x)300x20,得x60(件)又当0x0x60时,L(x)0,y0,y2(0x1)S(2x2)22(x1)(0x1)(2)令f(x)S24(x1)2(1x2)(0x1),则f(x)8(x1)2(12x)令f(x)0,解得x或x1(舍去)当0x0, f(x)为增函数;当x1时,f(x)0, f(x)为减函数f()是f(x)在区间(0,1)上的极大值,也是最大值,且f(),此时S.故当x时,S取得最大值.
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