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k k a b 11.2空间向量的数量积运算学习目标1.会识别空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题知识点一 空间向量的夹角 1定义:已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作OAa,OBb,则AOB 叫做向量 a,b 的夹角,记作 a,b2范围:0a,b.特别地,当a,b 时,ab.2思考当a,b0 和a,b 时,向量 a 与 b 有什么关系?答案 当a,b0 时,a 与 b 同向;当a,b 时,a 与 b 反向知识点二 空间向量的数量积已知两个非零向量 a,b,则|a|b|cos a,b叫做 a,b 的数量积,记作 ab.定义性质运算律即 ab|a |b|cosa,b规定:零向量与任何向量的数量积都为 0. ab a b0a aa2|a |2(a) b(a b),R.a bb a(交换律)a(bc)a ba c(分配律).思考 1 向量的数量积运算是否满足结合律?答案 不满足结合律,(ab)ca(bc)是错误的思考 2 对于向量 a,b,若 a bk,能否写成 a 或b ? 答案 不能,向量没有除法知识点三向量 a 的投影1如图(1),在空间,向量 a 向向量 b 投影,由于它们是自由向量,因此可以先将它们平移到同一个平面 内,进b而利用平面上向量的投影,得到与向量 b 共线的向量 c,c|a|cosa,b ,向量 c 称为向量 a 在向量 b 上的投影|b|向量类似地,可以将向量 a 向直线 l 投影(如图(2) 2如图(3),向量 a 向平面 投影,就是分别由向量 a 的起点 A 和终点 B 作平面 的垂线,垂足分别为 A,B, 得到AB,向量AB称为向量 a 在平面 上的投影向量这时,向量 a,AB的夹角就是向量 a 所在直线 与平面 所成的角1向量AB与CD的夹角等于向量AB与DC的夹角( )2若 a b0,则 a0 或 b0.( )3对于非零向量 b,由 a bb c,可得 ac.( )4若非零向量 a,b 为共线且同向的向量,则 a b|a|b |.( )一、数量积的计算例 1 如图所示,在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,求: (1)EF BA; (2)EF BD; (3)EF DC; (4)AB CD.反思感悟 求空间向量数量积的步骤(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积(3)代入 a b|a|b|cosa,b求解跟踪训练 1 (1) 已知 a3p2q,bpq,p 和 q 是相互垂直的单位向量,则 ab 等于( A1 B2C3 D4)1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 (2)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则AE BD_.二、利用数量积证明垂直问题例 2 如图所示,在正方体 ABCDA B C D 中,O 为 AC 与 BD 的交点,G 为 CC 的中点,求证:A O平面 GBD.反思感悟 用向量法证明几何中垂直关系问题的思路(1)要证两直线垂直,可分别构造与两直线平行的向量,只要证明这两个向量的数量积为 0 即可(2)用向量法证明线面垂直,需将线面垂直转化为线线垂直,然后利用向量数量积证明线线垂直即可跟踪训练 2 如图所示,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,DAB60,AB2AD,PD底面 ABCD.求证:PABD.三、用数量积求解夹角和模例 3 如图,在直三棱柱 ABCA B C 中,CACB1,BCA90,棱 AA 2,点 N 为 AA 的中点(1)求BN的模; (2)求 cosBA ,CB 的值 1 1 1 ab|a|b|1 1 1 11 1 1 1 1 11 11 11 11 1延伸探究1(变结论)本例中条件不变,求BN与CB 夹角的余弦值2(变条件)本例中,若 CACBAA 1,其他条件不变,求异面直线 CA 与 AB 的夹角反思感悟 求向量的夹角和模(1)求两个向量的夹角:利用公式 cosa,b 求 cosa,b,进而确定a,b(2)求线段长度(距离):取此线段对应的向量; 用其他已知夹角和模的向量表示该向量;利用|a| a2,计算出|a|,即得所求长度(距离) 跟踪训练 3 (1)已知正方体 ABCDABCD的棱长为 1,设ABa,ADb,AAc,则AB ,BD 等于( )A30C90B60D120(2)已知在平行六面体 ABCDA B C D 中,AA ABAD1,且这三条棱彼此之间的夹角都是 60,则 AC 的长 为( )A6C3B. 6D. 31.如图所示,在正方体 ABCDA B C D 中,下列各组向量的夹角为 45的是( ) A.AB与A C B.AB与C A C.AB与A D D.AB与B A1 1 1 11 1 11 1 11 1 1 11 1 11 11 12设 ABCDA B C D 是棱长为 a 的正方体,则有( ) A.AB C Aa2 C.BC A Ca2 B.AB A C 2a2 D.AB C A a2 3已知空间四边形 OABC 中,OBOC,AOBAOC ,则 cosOA,BC的值为( )31 2 1A. B. C D02 2 24若 a,b,c 为空间两两夹角都是 60的三个单位向量,则|ab2c|_. 5.如图,在长方体 ABCDA B C D 中,设 ADAA 1,AB2,P 是 C D 的中点,则B C与A P 所成角的大小为 _,B C A P_.1知识清单:(1)空间向量的夹角、投影(2)空间向量数量积、性质及运算律2方法归纳:化归转化3常见误区:空间向量的数量积的三点注意 (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定(2)当 a0,由 a b0 可得 ab 或 b0.1已知向量 a 和 b 的夹角为 120,且|a|2,|b|5,则(2ab) a 等于( )A12C4B8 13 D1312已知两异面直线的方向向量分别为 a,b,且|a |b|1,ab ,则两直线的夹角为( )2A30 B601 21 21 21 21 1 1 11 1 11 11 1 11 1 1 11 C120 D1503已知 e ,e 为单位向量,且 e e ,若 a2e 3e ,bke 4e ,ab,则实数 k 的值为( )A6 B6 C3 D3 4已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a,点 E,F 分别是 BC,AD 的中点,则AE AF的值为( )Aa21 1 3B. a2 C. a2 D. a2 2 4 45已知四边形 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD,连接 AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不为零 的是( ) A.PC与BD C.PD与AB B.DA与PB D.PA与CD6已知|a |13,|b|19,|ab|24,则|ab|_.7已知 a3b 与 7a5b 垂直,且 a4b 与 7a2b 垂直,则a,b_. 8如图,在正四棱台 ABCDA B C D 中,O,O 分别是对角线 AC,A C 的中点,则AO,OC_, AO,O C _,OO ,A B _.9.如图所示,在正方体 ABCDA B C D 中,求异面直线 A B 与 AC 所成的角1 1 1 11 1 1 11 110.如图,正四棱锥 PABCD 的各棱长都为 a.(1)用向量法证明 BDPC; (2)求|ACPC|的值 11设平面上有四个互异的点 A,B,C,D,已知(DBDC2DA)(ABAC)0, ABC 是( )A直角三角形 C等腰直角三角形B等腰三角形 D等边三角形12已知 a,b 是异面直线,A,Ba,C,Db,ACb,BDb,且 AB2,CD1,则 a 与 b 所成的角是( ) A30 B45 C60 D9013已知空间向量 a,b,c 满足 abc0,|a|3,|b |1,|c|4,则 a bb cc a 的值为( )A13 B5 C5 D13 14. 已知棱长为 1 的正方体 ABCDA B C D 的上底面 A B C D 的中心为 O ,则AO AC的值为_ 15等边ABC 中,P 在线段 AB 上,且APAB,若CP ABPA PB,则实数 的值为_16.如图所示,已知线段 AB 在平面 内,线段 AC,线段 BDAB,且 AB7,ACBD24,线段 BD 与 所成 的角为 30,求 CD 的长
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