第八章 傅立叶变换1. 傅立叶变换的概念一. 傅立叶级数定理1 设是以T为周期的实函数,且在上满足狄利克雷条件,即:(1) 连续或至多有有限多个第一类间断点,(2) 只有有限多个极值点.则在的连续点处有其中称上式为傅立叶级数的三角形式. 设则有其中称上式为傅立叶级数的复指数形式.称为周期函数的离散频谱，称为离散振幅谱，称为离散相位谱.例1. 求以T为周期的函数的离散频谱和它的傅立叶级数的复指数形式.二. 傅立叶积分与傅立叶变换1. 傅立叶积分公式定理2 (傅立叶积分定理)如果实值函数f(t)在区间上的任意一个有限区间上满足狄利克雷定理的条件,且在区间上绝对可积,则有在连续点处成立,在间断点处,等式左侧为 称上式为傅立叶积分公式.2. 傅立叶积分变换在傅立叶积分公式中,令:,则有定义： 称式为傅立叶变换,称为的像函数,记作=F 称式为傅立叶逆变换, 称为的像原函数,记作 = F .例2. 求矩形脉冲函数的傅立叶变换及傅立叶积分表达式.例3. 已知的频谱为求.例4. 求单边指数衰减函数的傅立叶变换，并画出频谱图.例5 设F ,证明：若为奇函数,则也是奇函数.(即: )2. 单位脉冲函数（函数）一. 单位脉冲函数的概念及性质若函数满足条件:(1) 当时, ;(2) .则称为单位脉冲函数.性质1 设为定义在R上的有界函数,且在处连续,则 一般地,若在处连续,则有 性质2 函数为偶函数,即性质3 设为单位阶跃函数,即 则有 例6. 给出函数的图形表示，其中例7. 分别求函数与的傅立叶变换.例8. 试证单位阶跃函数u(t)的傅立叶变换为例9. 求的傅立叶变换.定理3 设是以T为周期的实值函数，且在 上满足狄利克雷条件,则和 是一组傅立叶变换对。其中是的离散频谱。3. 傅立叶变换的性质一. 基本性质1. 线性性质 设F ,F , 为常数,则 F , F .2. 位移性质 设F ,为实常数,则 F , F .问题：该性质还有什么形式？例10. 已知求F .3. 相似性质设F ,a为非零常数,则 F . 例11. 已知抽样信号的频谱为求信号的频谱4. 微分性质(1) 导数的像函数 若 则 F F ,一般地, 若 则 F F .(2) 像函数的导数F F 一般地有, F .在实际使用时，经常使用的是该公式的另一种形式： F 例如： 求F 5.积分性质 设,若则 F F .6.帕塞瓦尔等式 设F ,则有 .例12. 求积分的值.二. 卷积与卷积定理1. 卷积定义： 设与内有定义.若广义积分对任意实数t均收敛,则该积分定义了一个以t为自变量的实函数,称此函数为与的卷积,记作.即 .卷积性质 例13. 求下列函数的卷积 其中例14. 求下列函数的卷积 2. 卷积定理定理 设F ,F ,则有 F , F .例15. 求下列函数的卷积 例16. 设求F f(t).三. 综合举例例17. 设是以周期为T的实值函数,且在上满足狄利克雷条件，证明 其中为的离散频谱.例18. 设是定义在上的实值函数,且存在傅立叶变换=F f(t), 证明.例19. 试证明 例20. 已知求f(t)= 的傅立叶变换.