. . . .教学基本信息课题1.1.2 余弦定理是否属于地方课程或校本课程否学科数学学段：高中年级高一相关领域平面向量教材书名：普通高中课程标准实验教科书B版必修5，：人民教育出版日期：2014年6 月指导思想与理论依据数学学习按知识分类有概念学习、规则学习和问题解决学习，相应的课堂教学有概念教学、规则教学和问题解决学习。数学规则表现为一定的语言和符号，总是包含某种特定容，呈现某种特定的形式。良略谈数学结构观下的阶梯与教学指出：结构观下的教学应凸显结构的地位，使学生的学习、解题、反思等活动都能适度地从结构的形式、特征与功能等角度出发思考。余弦定理的发现、推导、证明和应用过程就是数学规则的学习，展现了利用了结构启发学生思维，引导学生反思探究和提高学生的应用能力。为了表达向量的工具作用，让学生尝试运用平面向量知识解决三角形的度量问题。教学背景分析容分析：本节容选自普通高中课程标准实验教科书数学B版必修5（人教版）第一章“解三角形”第二节余弦定理。余弦定理承前的基础知识有勾股定理、向量基础知识、三角函数定义、诱导公式、和角公式、正弦定理与三角形面积公式，这些都是建立余弦定理的知识储备，后续的知识有正余弦定理的应用。同时余弦定理也为判断三角形的形状，证明三角形中的有关等式提供了重要依据。余弦定理是三角函数模块在三角形中的具体应用，是解决生产、生活实际问题的重要工具，因此有广泛的应用价值。学情分析：本校是市远郊的一所普通高中校，学生的基础较差。学生已经适应了高中的学习，逐步形成良好的学习习惯，高一上学期已经学习了平面向量的知识，但由于高一上学期的学习任务较重，课时较紧，留给学生消化和练习的时间较少，再加上学生缺乏自主学习的能力，很多知识一知半解利用平面向量解决问题的方法不是很熟练，所以在推导过程需要在教师的引导下完成，鼓励学生大胆的探索，不求全责备。学生经历过小组讨论的学习形式，对问题有一定的思考和探究能力，能很快地进行小组讨论，并能清楚地表述和展示讨论成果教学方式：数学课程标准要求“通过对任意三角形边长与角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”，所以在教学中采用“探究性学习的问题解决模式”。在回顾旧知识的基础上提出新的研究问题，引导学生从形象思维逐步过渡到抽象思维，突破教学难点通过引导学生带着问题的主动思考、合作交流的探究过程，力求使他们在掌握知识的同时，还能学会研究方法。教学手段：多媒体辅助教学技术准备：PPT 教学目标知识与技能：经历对三角形边角关系的探索，能证明余弦定理，了解从几何和向量的途径证明余弦定理，能初步运用余弦定理解决简单的三角形问题。过程与方法：在发现余弦定理的过程中，感悟类比，特殊到一般，数形结合，转化的思想方法，并提高学生运用余弦定理解决问题的能力。情感态度价值观：体验数学活动的过程，享受数学发现的快乐，让学生获得发现的成就感和快乐，激发学习兴趣。教学重点：余弦定理的发现与推导教学难点：余弦定理的建立教学过程(表格描述)教学阶段教师活动学生活动设置意图复习引入教师提问1、前面我们学习了正弦定理，请思考正弦定理能够帮助我们解决三角形中的什么问题？2、在“2角1边”中，边是对边还是邻边？3、在“2边1角”问题中，角是对角还是夹角？4、针对“2边1夹角”的问题，正弦定理无法解决，但已知“2边1夹角”的三角形利用初中的知识是确定的吗？如果是确定的，请同学们思考：在中，已知边长,试求边长。回答1：“2角1边”和“2边1角”问题。回答2：对边和邻边都可以。回答3：若是对角，比如知道，由正弦定理可先求，再求和边长。若是夹角，如果知道，用正弦定理似乎求解不了。回答4：确定，因为根据初中知识“边角边”可以判定三角形全等。复习旧知，有效的帮助学生梳理解三角形的几个问题，又为引入新知作好铺垫。教师通过设问将自身的主导作用转变为学生学习的引路人。启发学生从原有认知结构中找出新知的生长点，利用旧知获取新知。探究新知问题一：若，边长是否能求？能不能用向量方法证明呢？（教师引导：勾股定理是边的关系，可由向量的数量积转化得到）设，因为边的平方等于对应向量的平方。由,得即（教师板演）问题二：若对于任意的三角形，上述的推导过程会发生怎样的变化？结果会是什么形式？（留给学生足够的思考时间，教师巡视）因为，所以向量也不定是。因此即（教师顺应学生的探究思路给予适当的提示、点拨、启发）勾股定理可以看做是上式的特殊情况。上式也可以看做是勾股定理的推广。问题三：回顾刚才解决的问题，我们很容易得到结论：在中，则有还有其他类似形式的等式吗？总结还可以得出用语言文字表述为：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。这个结论揭示了任意三角形三边与其中一角的余弦关系，我们称它为“余弦定理”。（教师板演课题）问题四：我们刚刚认识了余弦定理这个新朋友，我们看看它有什么特征？1、从结构上看三个公式中；2、勾股定理可以看做是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广。问题四：我们为什么要学习余弦定理，它可以解决什么问题？1、已知三角形的两边与夹角，可求出第三边2、已知三角形的三边，可求角进一步得出余弦定理公式的变形（教师板演）学生回答以下问题一:若,就是勾股定理。学生在教师的引导下完成证明。学生分小组讨论，并发表自己的看法，小组选取代表进行展示。学生很容易根据形式结构的特点得出其他两个公式学生记忆公式学生根据公式的特点回答以下问题，并记忆公式的变形。通过问题的设置引导学生逐步深入的进行探讨通过分组讨论，加强学生之间的交流与合作，充分发挥学生学习的主动性培养学生由特殊到一般的解决问题的方法，以与归纳、抽象概括的能力培养学生积极动脑，认真思考，踊跃发言的习惯，让学生真正参与课堂的教学，主动探究新知的形成过程，并能用简洁准确的语言将自己的想法表达出来。引导学生观察、分析公式的特征和联系，加深对公式的记忆。学生观察，思考，让学生感受到发现的乐趣。应用举例例1在中，已知，求边长。分析：已知两边与其夹角，故直接选取余弦定理解决。例2在中，已知，求的最大角。分析：已知三边求角，应选取变形公式，而且明确大边对大角，求角C。例3在中，已知，求边长。分析：法一：已知两边与对角，可以选取正弦定理先求角A，再由,利用 或者法二：利用求解。学生认真阅读题目，理解题意，完成解答。学生板演例1和例2的过程。因为是新课的学习，难度设置较低，旨在让学生初步学会运用余弦定理解决问题。3个例题包含3种情形，并让学生总结思考“利用余弦定理可以解决哪些三角形问题；对于例3要视具体问题选择正弦或余弦定理解决。课堂练习1、在中，已知，求边长。2、在中，若，则学生练习根据课上的时间灵活安排，若时间充裕让学生自主完成，通过练习进一步巩固所学的知识归纳总结引导学生回顾本节课所学的知识与数学思想方法知识上：余弦定理的推导方法与余弦定理应用思想方法上：1、类比思想方法2、特殊到一般的研究方法（教师适时地对学生的回答进行评价和肯定）学生交流这节课的收获通过小结使学生加强对知识的记忆，加深对数学思想方法的理解，养成总结的好习惯课后思考在例3中既可以用正弦定理也可以用余弦定理，那么正弦定理和余弦定理是否存在着联系呢？你能用正弦定理证明余弦定理，用余弦定理证明正弦定理吗？请同学们课后思考。学生课后思考加深对正弦定理和余弦定理的理解板书设计1.1.2 余弦定理变形：例1：例2：例3：学习效果评价设计1、教师教学效果评价评价教师在教学过程中角色把握，整个课堂环境的营造，技术运用2、学生学习效果评价评价学生在课堂教学中的态度和表现，即评价学生的学习方式，学习水平，学习效果。评价量规：教师评价容评价标准ABC角色把握学生学习的指导者、合作者、参与者、激励者学生学习知识的传授者、活动组织者一味讲授，严厉监督环境营造营造宽松、平等、互动的学习化环境；关注学生规、有序专制、服从、沉默、压抑技术运用能科学运用各种媒体提供丰富的资源呈现教材，讲清知识，组织练习手段单调，讲解模糊，目标不明，过程紊乱学生评价容评价标准ABC学习方式能自主学习，合作交流，探究发现听讲发现，被动回答以下问题唯师唯书，被动承受学习水平学习热情高，参与度高，见解独特，深刻领会新知学习热情一般，参与度一般，少有独特见解，新知理解一般学习没有热情，参与度低，回答以下问题错误多学习效果掌握并能灵活运用知识技能的同时提升了学习水平、增强了学习兴趣能掌握知识技能并运用，但学习水平未有提高，学习兴趣一般完全依靠教师讲解勉强掌握知识技能，学习过程枯燥乏味本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)本节课较好地表达了新课标理念，在教学设计上主要有以下几个方面的特点：1、注重公式定理形成的过程公式是对一类事物的普遍规律的符号表达，所以一定要交待公式的产生背景，明确公式的条件和结论，培养推理能力，同时也是加强公式记忆的过程。因此公式的推导应在教师的指导下由学生完成，教师在推理难点或隐蔽条件等方面加强指导。这节课证明过程直接引导学生利用平面向量的知识解决，是因为考虑到学生刚完成平面向量的学习，这样承前启后的安排也较自然。2、尝试合作学习学习需要老师的引导，学习也需要同伴的帮助，有时同伴的帮助显得更为重要。同伴间的互相启发、互相评价、互相促进，其教学效果更为显著。3、根据学生情况设计教学容教学容的选取既要有利于教学目标的实现，也要考虑学生的知识基础和认知特点。在这个教学设计中，考虑到学生的基础较差，学习主动性不强，采用了教师启发引导与学生自主探究相结合的方式，既发挥了学生的主动性，又表达了教师的有效引导。这样的教学容设计层次合理，有助于教学目标的落实。4、公式、定理的学习不能回避记忆公式、定理的学习是离不开记忆的，牢固准确的记忆是灵活运用公式、定理的前提和基础。但是，对于公式、定理的学习而言，没有理解的记忆就是简单机械的记忆，是没有价值的。所以课上重视公式结构的分析和记忆。 /