解三角形应用举例编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1 .能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；2 .提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法；3 .掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法.【要点梳理】要点一、解三角形应用题的步骤解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是：(1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型：(3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解：(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.要点诠释：要点二、解三角形应用题的基本思路实际问题叫数学问题斛三角形数学回题的解检验雪际问题的解_kk要点三、实际问题中的一些名词、术语仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：铅I/视线通P角垂件水平线后角视线坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示。坡比是坡角的正切值。方位角与方向角：方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0。360。如图，点8的方位角是2=135、北方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）偏东（西）多少度。如图为南偏西60方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转60）；北i）西一东南如图为北偏东30。方向（指从正北开始向正东方向旋转30）.北用东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线,依此可类推西南方向、西北方向等;北南要点四、解三角形应用中的常见题型正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：1 .测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离“，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.2 .测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.3 .测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位工测量数据越精确，定位精度越高【典型例题】类型一：距离问题4 1.如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离是42m,NBAC=45。，ZACB=75o求A、B两点的距离.【思路点拨】这是一道关于研究两个不可到达的点之间的距离测量问题。题目条件告诉了边CD的长以及以C、D为顶点的四个角，根据三角形的内角和定理和正弦定理很容易算出AC、AD、BC或BD：然后选择恰当的三角形，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。【解析】ZABC=180-45-75=60根据正弦定理，得ABACsin ZACB sin ZABC AC sin ZACB 42 sin ZACB 42 sin 75 :.AB =sin ZABCsin ZABC sin 60=212+7/6 (m)答:A、B两点间的距离为21、5+7m【总结升华】1.此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.2,解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：A)(米)故所求塔高为学(3-6)米【总结升华】注意仰角的概念。举一反三：【变式1】如图，在山顶铁塔上B处测得地而上一点A的俯角2=60。，在塔底C处测得A处的俯角【答案】2 = 60。,P=45，已知铁塔的BC部分的高为406，求山高CD.夕=45,Z.ZDAB=a=60,ZDAC=/?=45假设CO=xm,则C0=AO=x,DB=6AD=G:CB=DBDC,瓜一x=40,解得CQ=x=20(VJ+1)l【变式2在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为8,沿BE方向前进30m,至点C处测得顶端A的仰角为28,再继续前进106m至D点，测得顶端A的仰角为46，求8的大小和建筑物AE的氤【答案】方法一：用正弦定理求解由已知可得在AACD中，AC=BC=30,AD=DC=loJJ,NADC=180-48,10/3_30sin219sin(180-4)/T因为sin40=2sin20cos20，:.cos20=-，得20=30,夕=152:.在RtADE中，AE=ADsin60*=15答:所求角6=15,建筑物高度为15m。方法二：设方程来求解设DE=x,AE=h在RtACE中,(10J?+x)2+h2=302在RtAADE中,x2+h2=(10V5)2两式相减，得x=56,h=15A在RtAACE中Jan20=10V3+x3.2。=30,8=15答：所求角6=15,建筑物高度为15m0方法三：用倍角公式求解设建筑物高为AE=8,由题意，得/BAC=6,NCAD=2d,AC=BC=30m,AD=CD=10V3m在RtAACE中，sin26=-304在RtAADE中，sin46=-10V3-(DWcos2/3-2x2(/3-1)cos(45:+75)=y/6(km),由正弦定理，得sin乙48c=；二弓,ZABC=45,而NC80=12O,:.sin/BCD=BD-sinZCBD10/-sin120CD1073/：./BCD=30,ZBDC=30.:BD=BC=(km),即10/=#,=答：缉私船向东偏北30方向，只需好力便能追上走私船.10